[论文解读] Higher Chow groups with modulus and relative Milnor K-theory

Kay Rülling, Shuji Saito|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文构建了一个从光滑概形 $X$ 上具有简单法向交截除子 $D$ 的尼兹维奇 motivic 复形到相对 Milnor $K$-层的显式循环映射，证明了在度数 $i \geq \dim X$ 时，motivic 上同调与相对 Milnor $K$-层的上同调之间存在同构。该结果推广了 $D=0$ 时的经典同构，并建立了 $({\mathbb{A}}^1_k, (m+1)\{0\})$ 的 motivic 上同调的 Zariski 下降性质，将其与加法 Chow 群及大 de Rham-Witt 复形联系起来。

ABSTRACT

Let X be a smooth variety over a field k and D an effective divisor whose support has simple normal crossings. We construct an explicit cycle map from the r-th Nisnevich motivic complex of the pair (X,D) to a shift of the r-th relative Milnor K-sheaf of (X,D). We show that this map induces an isomorphism for all i greater or equal the dimension of X between the motivic Nisnevich cohomology of (X,D) in bidegree (i+r,r) and the i-th Nisnevich cohomology of the r-th relative Minor K-sheaf of (X,D). This generalizes the well-known isomorphism in the case D=0. We use this to prove a certain Zariski descent property for the motivic cohomology of the pair (\A^1_k, (m+1){0}).

研究动机与目标

• 将 motivic 上同调与 Milnor $K$-理论之间的经典同构推广到具有简单法向交截除子 $D$ 的对 $(X,D)$。
• 定义并研究作为绝对 Milnor $K$-层子层的相对 Milnor $K$-层 ${\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D}$。
• 建立从尼兹维奇 motivic 复形 $\mathbb{Z}(r)_{X|D,\mathrm{Nis}}$ 到移位后的相对 Milnor $K$-层的循环映射，并证明其在高阶度数下的同构性。
• 证明 $({\mathbb{A}}^1_k, (m+1)\{0\})$ 的 motivic 上同调满足 Zariski 下降性质，将其与加法 Chow 群及大 de Rham-Witt 复形联系起来。

提出的方法

• 通过由除子 $D$ 导出的滤子，将相对 Milnor $K$-层 ${\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D}$ 构造为 ${\mathcal{K}}^{M}_{r,X}$ 的子层，利用具有模结构的概形上 Milnor $K$-层的结构。
• 将尼兹维奇 motivic 复形 $\mathbb{Z}(r)_{X|D,\mathrm{Nis}}$ 定义为带有模结构条件的立方循环复形的移位，满足循环上的模条件。
• 在尼兹维奇层的导出范畴中，构造显式循环映射 $\phi^{r}_{X|D,\mathrm{Nis}}: \tau_{\geq r}\mathbb{Z}(r)_{X|D,\mathrm{Nis}} \to {\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D,\mathrm{Nis}}[-r]$。
• 证明该循环映射在 $D_{\mathrm{red}}$ 为简单法向交截除子时，诱导出同构 $H^{i+r}_{{\mathcal{M}},\mathrm{Nis}}(X|D,\mathbb{Z}(r)) \cong H^i(X_{\mathrm{Nis}}, {\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D,\mathrm{Nis}})$，对所有 $i \geq \dim X$ 成立，推广了 $D=0$ 的经典情形。
• 利用同伦不变性与维数论证，证明某些 motivic 上同调群的消失性，特别是针对 $({\mathbb{A}}^1_k, (m+1)\{0\})$，以确立 Zariski 下降性质。
• 通过同构与消失性结果，将 $({\mathbb{A}}^1_k, (m+1)\{0\})$ 的 motivic 上同调与加法 Chow 群及大 de Rham-Witt 复形联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个自然的循环映射，从具有简单法向交截除子 $D$ 的对 $(X,D)$ 的 motivic 上同调映射到相对 Milnor $K$-层，从而推广 $D=0$ 时的经典同构？
• RQ2 $(\mathbb{A}^1_k, (m+1)\{0\})$ 的 motivic 上同调能否用相对 Milnor $K$-层与加法 Chow 群来描述？
• RQ3 对于具有模结构的除子 $D$ 的对 $({\mathbb{A}}^n_k, D)$，motivic 上同调在 Zariski 下降下的行为如何？
• RQ4 在加法 $K$-理论的背景下，相对 Milnor $K$-层 ${\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D}$ 如何与大 de Rham-Witt 复形相关联？
• RQ5 $(\mathbb{A}^n_k, D)$ 的 motivic 上同调在高阶度数下有哪些消失定理？这些定理如何蕴含 Zariski 下降性质？

主要发现

• 构造了循环映射 $\phi^{r}_{X|D,\mathrm{Nis}}: \tau_{\geq r}\mathbb{Z}(r)_{X|D,\mathrm{Nis}} \to {\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D,\mathrm{Nis}}[-r]$，并证明当 $D_{\mathrm{red}}$ 为简单法向交截除子时，其在尼兹维奇层的导出范畴中为同构。
• 同构 $H^{i+r}_{{\mathcal{M}},\mathrm{Nis}}(X|D,\mathbb{Z}(r)) \cong H^i(X_{\mathrm{Nis}}, {\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D,\mathrm{Nis}})$ 对所有 $i \geq \dim X$ 成立，推广了 $D=0$ 时的经典同构。
• $({\mathbb{A}}^1_k, (m+1)\{0\})$ 的 motivic 上同调满足 Zariski 下降性质，且上同调群 $H^{r+d+n}_{{\mathcal{M}},\mathrm{Nis}}(X\times{\mathbb{A}}^n|p^*D+E_{\mathfrak{m}}, \mathbb{Z}(r))$ 在 $n \geq 2$ 且 $\mathfrak{m} \in ({\mathbb{N}}_{\geq 1})^n$ 时消失。
• $\mathrm{CH}^{r}(X\times{\mathbb{A}}^n|p^*D+E_{\mathfrak{m}}, r-(d+n))$ 在 $n \geq 2$ 时消失，意味着到 motivic 上同调的自然映射为同构。
• 证明了相对 Milnor $K$-层 ${\mathcal{K}}^{M}_{r,X|D}$ 是层 $\omega^{r-1}_{\mathfrak{n},\nu}/B^{r-1}_{s+1,\mathfrak{n},\nu}$ 的逐次扩张，从而可使用谱序列论证实现上同调消失。
• 通过 Leray 谱序列与维数理由，建立了 $H^{d+1}(X_{\nu}\times{\mathbb{A}}^1, \omega^{r-1}_{\mathfrak{n},\nu})$ 的消失性，从而证明了下降性质的关键消失结果。