[论文解读] Higher Codimension Cycles on the Hilbert Scheme of Three Points on the Projective Plane

Tim Ryan, Alexander Stathis|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 1

一句话总结

本文利用Mallavibarrena和Sols定义的几何基，计算了射影平面 P² 上三个点的 Hilbert 模丛 P²[3] 上高余维循环的 nef 与有效锥。结果表明，余维 2 和 3 的 nef 锥分别为具有 6 条和 8 条极小射线的有限多面体锥，并计算了由 P² 上向量丛导出的所有典型丛的全部陈类与塞雷类，给出了几何基下的显式公式，同时通过 2-非常 ample 丛建立了对拟合锥的内界。

ABSTRACT

In this paper, we study the higher codimensional cycle structure of the Hilbert scheme of three points in the projective plane. In particular, we compute all Chern (and Segre) classes of all tautological bundles on it and compute the nef (effective) cones of cycles in codimensions 2 and 3 (dimensions 2 and 3).

研究动机与目标

• 计算射影平面 P² 上三个点的 Hilbert 模丛 P²[3] 上余维 2 和 3 的循环的 nef 与有效锥。
• 利用 Mallavibarrena 和 Sols 定义的几何基，确定 P²[3] 的查沃环结构。
• 计算由 P² 上向量丛导出的 P²[3] 上所有典型丛的陈类与塞雷类。
• 通过 2-非常 ample 典型丛提供对拟合锥的内界。
• 利用群作用轨道结构与向量丛技术，将高余维循环理论中的正性理解拓展至除子锥之外的范围。

提出的方法

• 利用继承自群作用的 Bialynicki-Birula 分解与轨道结构，分析循环类。
• 采用 Mallavibarrena 和 Sols 定义的 P²[3] 查沃环的几何基，显式表达循环类。
• 通过 Hilbert 模丛上全族的拉回与推出，应用典型丛的结构。
• 利用群结构与格拉斯曼流形上的施普伦格尔计算，推导典型丛的陈类与塞雷类。
• 利用某些典型丛的 2-非常 ample 性质，生成高余维循环拟合锥的内界。
• 借助 Lehn 猜想与塞雷类广义生成函数的已知结果，计算所有陈类至第 6 个度数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 P² 上三个点的 Hilbert 模丛 P²[3] 上，余维 2 和 3 的 nef 锥结构如何？
• RQ2 如何显式计算 P²[3] 上任意 P² 上向量丛导出的典型丛的陈类与塞雷类？
• RQ3 P²[3] 上哪些典型丛是 2-非常 ample 的？它们如何贡献于拟合锥？
• RQ4 P²[3] 上余维 2 和 3 的 nef 与有效锥中，极小射线的精确数量与几何描述是什么？
• RQ5 P²[3] 上高余维正性锥（nef、pliant）与除子锥之间有何关系？它们揭示了哪些新的几何信息？

主要发现

• P²[3] 上余维 2 的 nef 锥为具有恰好 6 条极小射线的有限多面体锥，余维 3 的 nef 锥具有 8 条极小射线。
• P²[3] 上维数 2 的有效锥有 6 个极小类，维数 3 的有效锥有 7 个极小类，两者均为闭合且有限多面体。
• 对任意 P² 上的向量丛 V，其典型丛 V[3] 的所有陈类均显式计算至第 6 个度数，公式以几何基形式给出。
• 陈类 c₁(V[3]) 至 c₆(V[3]) 均表示为几何基类 A, B, C, D, E, U, V, W, X, Y, Z, α, β, γ, δ, ǫ, φ, ψ, Δ, Δ², Δ³ 的有理系数线性组合。
• 余维 2 的拟合锥包含由 16 个特定类张成的锥，包括 35A + 30B + 6C + 52D + 50E，余维 3 和 4 也给出了类似的显式内界。
• 本文识别出三类 2-非常 ample 的典型丛：斜率在 [2,3] 区间内的例外丛、极限形式的扭转变换例外丛（至多秩 99），以及沿抛物线族的丛，它们均生成拟合锥的内界。