[论文解读] Higher codimension relative isoperimetric inequality outside a convex set

Brian Krummel|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文为位于凸集 $\Sigma \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 外部的 $(m+1)$-维面积最小化整值电流建立了尖锐的高余维相对等周不等式，证明了等周比的下确界恰好由半空间中的平直半圆盘实现。该结果推广了先前的余维一情形结果，并通过几何测度论、单调性公式和整值电流的紧致性定理，证实了Choe的猜想。

ABSTRACT

We consider an isoperimetric inequality for $(m+1)$-dimensional area minimizing submanifolds of arbitrary codimension which lie outside a convex set $\mathcal{K} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ and are bounded by a submanifold of $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \mathcal{K}$ and the convex set $\mathcal{K}$. We show that the least value of the isoperimetric ratio is attained for an $(m+1)$-dimensional flat half-disk of $\mathbb{R}^{n+1}_+$. This extends prior work of Choe, Ghomi, and Ritoré in codimension one and proves a conjecture of Choe in the case of relative area minimizers.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\mathcal{K}$ 中，为 $(m+1)$-维面积最小化整值电流建立尖锐的相对等周不等式，其中 $\mathcal{K}$ 是具有非空内部的闭凸集。
• 将 Choe、Ghomi 与 Ritoré 的余维一情形结果推广至任意余维。
• 证实 Choe 关于高余维情形下相对面积最小化器的猜想。
• 分析面积最小化电流在凸集 $\mathcal{K}$ 边界附近的结构与正则性，包括奇点与边界行为。
• 证明最优等周比仅由半空间中的多重性为一的平直半圆盘实现，使用紧致性与爆破技术。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\mathcal{K}$ 中采用整值电流的框架，推广光滑子流形，容许奇点与重数。
• 应用 Federer-Fleming 紧致性定理，证明在 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\mathcal{K}$ 中存在面积最小化电流 $R$ 满足 $\partial R = T$，其中 $T$ 是边界位于 $\partial\mathcal{K}$ 上的 $m$-电流。
• 通过半径 $\rho^*$ 的截面论证，将问题局部化至有界凸集 $\widetilde{\mathcal{K}} = \mathcal{K} \cap \overline{B_{2\rho^*}(0)}$，从而可应用有界情形的结果。
• 应用单调性公式与切锥分析，研究最小化序列的渐近行为，并排除无穷远处的质量集中。
• 通过反射与 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中标准等周不等式的比较，推导出半空间情形下的尖锐常数 $2^{-1/m}$。
• 利用球面的面积-平均曲率特征与稳定性论证，证明等周比中等号成立当且仅当 $R$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}_+$ 中的多重性为一的平直半圆盘。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于位于凸集 $\mathcal{K}$ 外部的 $(m+1)$-维面积最小化整值电流 $R$，相对等周比 $\frac{\mathbf{M}(T)^{\frac{m+1}{m}}}{\mathbf{M}(R)}$ 的尖锐下确界是什么？其中 $T$ 是 $m$-维整值电流，满足 $\partial R = T$ 且 $\partial R \subset \partial\mathcal{K}$。
• RQ2 如 Choe 所猜想，在任意余维下，该比值的最小化器是否仅出现在半空间中的平直半圆盘？
• RQ3 奇点与非可求长边界的存在如何影响相对面积最小化器的存在性与正则性？
• RQ4 能否通过整值电流理论将相对等周不等式从余维一推广至高余维？
• RQ5 凸集 $\mathcal{K}$ 的凸性在确保最小化电流的存在性与尖锐不等式的有效性中起何作用？

主要发现

• 尖锐相对等周不等式成立：对于任意 $m$-维整值电流 $T$ 与 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\mathcal{K}$ 中满足 $\partial R = T$ 且 $\partial R \subset \partial\mathcal{K}$ 的 $(m+1)$-维面积最小化电流 $R$，有 $$ \frac{\mathbf{M}(T)^{\frac{m+1}{m}}}{\mathbf{M}(R)} \geq 2^{-1/m} \frac{\mathcal{H}^m(\partial \mathbb{B}^{m+1})^{\frac{m+1}{m}}}{\mathcal{H}^{m+1}(\mathbb{B}^{m+1})} $$
• 等号成立当且仅当 $R$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}_+$ 中的多重性为一的平直半圆盘，即半空间中的半球体。
• 等周比的下确界仅由此类平直半圆盘实现，从而证明了该界是尖锐的。
• 证明依赖于使用大球 $B_{\rho^*}(0)$ 的局部化论证，将无界情形约化至有界凸集 $\widetilde{\mathcal{K}}$，其中不等式已知成立。
• 该方法使用爆破论证与紧致性，排除了无穷远处的质量集中，确保几乎最小化序列的极限满足不等式。
• 该结果证实了 Choe 在相对面积最小化器情形下的猜想，通过整值电流理论将先前余维一的工作推广至任意余维。