[论文解读] Higher codimensional foliations and Kupka singularities

Maurício Corrêa, Omegar Calvo-Andrade+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文研究了在 $\mathbb{P}^n$ 上维度 $k > 1$ 且余维 $\geq 1$ 的全纯叶状结构，其 Kupka 奇点集的一个连通紧致分支。若其横截类型为线性且特征值为正，则该叶状结构必为有理纤维化 $\Phi: \mathbb{P}^n \dasharrow \mathbb{P}^{n-k}$。该结果可推广至 Kupka 集为完全交或具有径向横截类型的情形，并应用于推导非可积余维一分布的法型。

ABSTRACT

We consider holomorphic foliations of dimension $k>1$ and codimension $\geq 1$ in the projective space $\mathbb{P}^n$, with a compact connected component of the Kupka set. We prove that, if the transversal type is linear with positive integers eigenvalues, then the foliation consist on the fibers of a rational fibration. As a corollary, if $\mathcal{F}$ is a foliation such that $dim(\mathcal{F})\geq cod(\mathcal{F})+2$ and has transversal type diagonal with different eigenvalues, then the Kupka component $K$ is a complete intersection and we get the same conclusion. The same conclusion holds if the Kupka set is a complete intersection and has radial transversal type. Finally, as an application, we find a normal form for non integrable codimension one distributions on $\mathbb{P}^{n}$.

研究动机与目标

• 刻画 $\mathbb{P}^n$ 上维度 $k > 1$ 且余维 $\geq 1$ 的全息叶状结构，其 Kupka 奇点集包含一个连通紧致分支。
• 确定此类叶状结构成为有理纤维化的条件。
• 将该刻画结果推广至 Kupka 集为完全交或具有径向横截类型的情形。
• 将所得结果应用于推导 $\mathbb{P}^n$ 上非可积余维一分布的法型。

提出的方法

• 通过局部法型与横截类型分类分析全息叶状结构的 Kupka 集。
• 应用 Kupka 条件，证明叶状结构在局部由具有线性横截结构的闭形式定义。
• 运用 Baum–Bott 理论与上同调技巧，将 Kupka 集的几何性质与整体纤维化结构联系起来。
• 采用 Poincaré 引理与 Darboux 型定理，在局部坐标下构造使叶状结构呈现标准形式的坐标系。
• 应用 $d\omega$ 全局可分解性与径向向量场收缩的结果，推导出齐次多项式结构。
• 利用 $\text{cod}(\text{Sing}((d\omega)^r)) \geq 3$ 的事实，得出 $d\omega$ 可表示为不同微分形式的楔积之和。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{P}^n$ 上，若全息叶状结构具有连通紧致的 Kupka 分量，且其横截类型为线性且特征值为正，则在何种条件下该叶状结构为有理纤维化？
• RQ2 叶状结构的 Kupka 集在何种情况下为完全交？这又意味着何种整体结构？
• RQ3 若 Kupka 集具有径向横截类型，是否能强制叶状结构为有理纤维化？
• RQ4 对于 $\mathbb{P}^n$ 上具有 Kupka 分量的非可积余维一分布，可达到何种法型？
• RQ5 全局可分解性 $d\omega$ 如何与定义 1-形式的齐次结构相关联？

主要发现

• 若 $\mathbb{P}^n$ 上的全息叶状结构具有连通紧致的 Kupka 分量，且其横截类型为线性且特征值为正，则该叶状结构为有理纤维化 $\Phi: \mathbb{P}^n \dasharrow \mathbb{P}^{n-k}$。
• 当 $\dim(\mathcal{F}) \geq \text{cod}(\mathcal{F}) + 2$ 且横截类型为对角型且特征值互异时，Kupka 分量 $K$ 为完全交，且叶状结构为有理纤维化。
• 若 Kupka 集为完全交且具有径向横截类型，则叶状结构再次为有理纤维化。
• 对于 $\mathbb{P}^n$ 上类为 $r$ 的非可积余维一分布，若 $\text{cod}(\text{Sing}((d\omega)^r)) \geq 3$，则局部上 1-形式 $\omega$ 可表示为通过到 $\mathbb{C}^{2r}$ 的子mersion 拉回的标准形式。
• 全局上，1-形式 $\omega$ 具有形式 $\sum_{i=0}^{r-1} (f_i df_{i+r} - f_{i+r} df_i)$，其中 $f_i$ 为同次齐次多项式。
• 全局结构 $d\omega$ 为 $\sum_{i=0}^{r-1} df_i \wedge df_{i+r}$，表明其具有齐次且可分解的结构。