[论文解读] Higher cup products on hypercubic lattices: application to lattice models of topological phases

Yu-An Chen, Sri Tata|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2021

Theoretical and Computational Physics参考文献 34被引用 13

一句话总结

本文推导了在超立方格点上更高上积的显式上链公式，实现了对拓扑物相哈密顿量的系统构造。它建立了 (3+1)D SPT 模型 $ S = \frac{1}{2}\int w_2^2 + w_1^4 $ 与三费米子 Walker-Wang 模型之间的对偶性，并利用该形式化方法将精确的玻色子-费米子对偶性和 Gu-Wen Grassmann 积分化推广至任意维度。

ABSTRACT

In this paper, we derive the explicit formula for higher cup products on hypercubic lattices, based on the recently developed geometrical interpretation in the simplicial case. We illustrate how this formalism can elucidate lattice constructions on hypercubic lattices for various models and deriving them from spacetime actions. In particular, we demonstrate explicitly that the (3+1)D SPT $S = \frac{1}{2} \int w_2^2 + w_1^4$ (where $w_1$ and $w_2$ are the first and second Stiefel-Whitney classes) is dual to the 3-fermion Walker-Wang model constructed on the cubic lattice by Burnell-Chen-Fidkowski-Vishwanath. Other examples include the double-semion model, and also the `fermionic' toric code in arbitrary dimensions on hypercubic lattices. In addition, we extend previous constructions of exact boson-fermion dualities and the Gu-Wen Grassmann Integral to arbitrary dimensions. Another result which may be of independent interest is a derivation of a cochain-level action for the generalized double-semion model, reproducing a recently derived action on the cohomology level.

研究动机与目标

• 开发超立方格点上更高上积的上链形式化方法，实现拓扑作用量的显式计算。
• 将该形式化方法应用于推导已知拓扑格点模型的哈密顿量，包括三费米子 Walker-Wang 模型和费米子拓扑码。
• 利用超立方格点框架，将精确的玻色子-费米子对偶性和 Gu-Wen Grassmann 积分化推广至任意维度。
• 在上链层级上推导广义双重任意子模型作用量，复现已知的上同调层级结果。
• 通过上积恒等式简化拓扑模型中量子细胞自动机（QCA）构造的验证过程。

提出的方法

• 使用单纯复形记号和对偶单纯形结构，在超立方格点上推导 $ \cup_i $ 上积在 $ \mathbb{Z}_2 $ 和 $ \mathbb{Z} $ 上的显式公式。
• 通过双单纯形符号交集的几何解释，阐明 $ \mathbb{Z} $-系数运算中符号因子的来源。
• 将该形式化方法应用于时空划分函数，从拓扑作用量推导体边界和边界哈密顿量。
• 引入扩展格点构造以表示相对上链 $ C^*(N, \partial N) $，实现边界项分析。
• 利用 $ \cup_1 $ 上积恒等式消除 QCA 哈密顿量中的冗余项，确保各项独立。
• 将该形式化方法应用于构造包括 $ \mathbb{Z}_n $ 拓扑码、双重任意子和三费米子 Walker-Wang 模型在内的模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在超立方格点上以显式上链形式表达更高上积？
• RQ2 能否从统一的上链形式化中推导出 (3+1)D SPT 模型 $ S = \frac{1}{2}\int w_2^2 + w_1^4 $ 与三费米子 Walker-Wang 模型之间的对偶性？
• RQ3 能否利用该框架将精确的玻色子-费米子对偶性和 Gu-Wen Grassmann 积分化推广至任意维度？
• RQ4 能否在上链层级上推导广义双重任意子模型的作用量，并复现已知的上同调层级结果？
• RQ5 上积恒等式能否简化拓扑模型中量子细胞自动机构造与验证的过程？

主要发现

• 本文推导了在超立方格点上关于 $ \mathbb{Z}_2 $ 和 $ \mathbb{Z} $ 的 $ \cup_i $ 上积的显式上链公式，其中符号因子被解释为对偶单纯形的符号交集。
• 证明了 (3+1)D SPT 模型 $ S = \frac{1}{2}\int w_2^2 + w_1^4 $ 与三费米子 Walker-Wang 模型在立方格点上通过上积形式化实现对偶。
• 该形式化方法可系统推导出任意维度下 $ \mathbb{Z}_n $ 拓扑码、双重任意子模型和费米子拓扑码的哈密顿量。
• 提供了广义双重任意子模型作用量的上链层级推导，复现了先前已知的上同调层级结果。
• $ \cup_1 $ 上积恒等式通过消除冗余项，简化了三费米子模型的 QCA 构造，将多项式检验替换为代数恒等式。
• 扩展格点构造实现了相对上链与带边界条件的扩展格点上链之间的一一对应，促进了边界项分析。