[论文解读] Higher depth quantum modular forms, multiple Eichler integrals, and $\frak{sl}_3$ false theta functions
本文引入了由 $\frak{sl}_3$ 伪 theta 函数在 $W^0(p)_{A_2}$ 顶点代数的特征中产生的高深度量子模形式，表明它们可分解为两个整权的深度二量子模形式。该构造将这些形式与双重艾希勒积分及具有双重误差函数系数的非全纯 theta 级数联系起来，通过迭代积分和维涅拉斯型微分方程建立了模形式性质。
We introduce and study higher depth quantum modular forms. We construct two families of examples coming from rank two false theta functions, whose "companions" in the lower half-plane can be also realized both as double Eichler integrals and as non-holomorphic theta series having values of "double error" functions as coefficients. In particular, we prove that the false theta of $\frak{sl}_3$, appearing in the character of the vertex algebra $W^0(p)_{A_2}$, can be written as the sum of two depth two quantum modular forms of positive integral weight.
研究动机与目标
- 定义并研究超越经典秩一情形的高深度量子模形式。
- 将 $\frak{sl}_3$ 顶点代数中的秩二伪 theta 函数与迭代艾希勒积分及非全纯 theta 级数联系起来。
- 证明 $\frak{sl}_3$ 伪 theta 函数可分解为两个整权的深度二量子模形式。
- 通过迭代积分和微分方程探索这些形式的模性质。
- 为 $W(p)_{A_2}$ 特征建立 $S$-矩阵结构的基础，类似于顶点代数理论中的已知结果。
提出的方法
- 通过正规化积分构造双重艾希勒积分，使用权为 $k$ 和 $2-k$ 的模形式。
- 应用博尔恒等式及其推广，关联不定 theta 函数的全纯与非全纯部分。
- 使用维涅拉斯型微分方程验证具有二次型的迭代积分的模性质。
- 运用雅可比导数技巧，将权为二的非全纯部分与谐波马茨形式联系起来。
- 推导伪 theta 函数的渐近展开，将其与下半平面中的艾希勒积分联系起来。
- 通过证明模性质的误差为实解析函数，验证所构造的量子模形式满足量子模形式的定义（齐格勒意义下）。
实验结果
研究问题
- RQ1能否系统地从高阶李代数的伪 theta 函数定义并构造高深度量子模形式？
- RQ2双重艾希勒积分与具有双重误差函数系数的非全纯 theta 级数如何与伪 theta 函数的模性质相关联？
- RQ3$\frak{sl}_3$ 伪 theta 函数能否表示为两个整权深度二量子模形式之和？
- RQ4迭代艾希勒积分在实现不定 theta 函数的非全纯部分中起什么作用？
- RQ5$(2,2p)$-环面链的彩色琼斯多项式尾部是否可识别为伪 theta 函数 $F(q)$ 的一个分量，至多相差一个有理函数？
主要发现
- $\frak{sl}_3$ 的伪 theta 函数（在 $W^0(p)_{A_2}$ 的特征中出现）可分解为两个权 $k \in \mathbb{Z}_{\geq 2}$ 的深度二量子模形式。
- 证明这些伪 theta 函数等于两个双重艾希勒积分之和，每个对应一个具有双重误差函数系数的非全纯 theta 级数。
- 不定 theta 级数的非全纯部分被实现为模形式的迭代积分，满足 $\lambda = 0$ 且 $A = A_1$ 的维涅拉斯微分方程。
- 通过正规化积分的极限过程证明了迭代艾希勒积分的模性质，表明其收敛于权为二的模对象。
- 所构造的量子模形式的模性质误差为实解析函数，满足齐格勒意义下的量子模形式定义。
- 建立了伪 theta 函数 $F(q)$ 与 $(2,2p)$-环面链的彩色琼斯多项式尾部之间的联系，至多相差一个有理因子 $1-q$。
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