[论文解读] Higher derived brackets

Ezra Getzler|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用 25

一句话总结

本文提出了一种在微分分次李代数 $L_{\bullet}$ 的正分次部分上系统构造 $L_{\infty}$-代数结构的方法，利用通过伯努利数定义的高阶导出括号。关键结果推广了泊松流形的导出括号构造以及来自寇朗代数的李 2-代数，通过直接验证格拉斯杰柯比恒等式与伯努利数的性质，证明了所得运算满足 $L_{\infty}$-代数公理。

ABSTRACT

We show that there is a sequence of operations on the positively graded part of a differential graded algebra making it into an L-infinity algebra. The formulas for the higher brackets involve Bernoulli numbers. The construction generalizes the derived bracket for Poisson manifolds, and the Lie 2-algebra associated to a Courant algebroid constructed by Roytenberg and Weinstein.

研究动机与目标

• 将度数为 1 的微分分次李代数的导出括号构造推广至任意正分次的代数。
• 将 $L_{\infty}$-代数的构造从导出括号形式推广至涉及高阶元素的高阶括号。
• 通过格拉斯杰柯比恒等式与涉及伯努利数的组合恒等式，直接证明所得结构的 $L_{\infty}$-代数公理。
• 阐明伯努利数在高阶括号中的作用，表明其源于微分分次李代数的结构。

提出的方法

• 在 $\mathbb{L} = \tau_{>0}L$ 上定义 $L_{\infty}$-代数结构，即 $L_{\bullet}$ 在正度数上的截断。
• 将第 $n$ 个高阶括号构造为 $\{a_0,\dots,a_n\} = b_n \sum_{\pi \in S_{n+1}} (-1)^\varepsilon [[\dots[Da_{\pi_0}, a_{\pi_1}], \dots], a_{\pi_n}]$，其中 $b_n = \frac{(-1)^n B_n}{n!}$，$B_n$ 为伯努利数。
• 使用柯尔祖符号约定处理括号运算中的格拉斯对称性。
• 在底层微分分次李代数 $L$ 中应用格拉斯杰柯比恒等式，以验证 $L_{\infty}$-代数关系。
• 引入辅助张量表达式 $\mathbf{Z}_{n,j,k}$ 以分解杰柯比法则的贡献，并利用其对称性与递推性质。
• 通过证明关联的 $s,t$ 多项式属于由 $s+t-1$ 生成的理想，利用包含伯努利生成函数 $f(x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2}$ 的生成函数，证明完整杰柯比法则的消失性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将泊松流形的导出括号构造从微分分次李代数中的度数 1 元素推广至更高阶元素？
• RQ2 伯努利数在由微分分次李代数导出的 $L_{\infty}$-代数的高阶括号结构中起什么作用？
• RQ3 能否在不依赖映射锥构造的情况下，直接构造并验证微分分次李代数正截断上的 $L_{\infty}$-代数结构？
• RQ4 在何种条件下，高阶导出括号构造能产生李 $n$-代数？
• RQ5 涉及 $\mathbf{Z}_{n,j,k}$ 张量的组合恒等式如何确保 $L_{\infty}$-代数的杰柯比恒等式？

主要发现

• 在 $\mathbb{L} = \tau_{>0}L$ 上的 $L_{\infty}$-代数结构通过公式 $\{a_0,\dots,a_n\} = b_n \sum_{\pi} (-1)^\varepsilon [[\dots[Da_{\pi_0}, a_{\pi_1}], \dots], a_{\pi_n}]$ 显式构造，其中 $b_n = \frac{(-1)^n B_n}{n!}$，括号中涉及伯努利数。
• 0 阶与 1 阶括号显式给出为：当 $|a| > 1$ 时，$\{a\} = \delta a$；当 $\{a_0,a_1\} = \frac{1}{2} \left( [Da_0,a_1] - (-1)^{|a_0|} [a_0, Da_1] \right)$。
• 三元括号为 $\{a_0,a_1,a_2\} = \frac{1}{12} \sum_{\pi} (-1)^\varepsilon \left( [[Da_{\pi_0},a_{\pi_1}],a_{\pi_2}] \text{ 及其轮换} \right)$，符号由柯尔祖约定确定。
• 第 $n$ 个括号的杰柯比恒等式通过将求和按 $j,k$ 索引分解，并利用生成函数 $f(x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2}$ 证明关联的 $s,t$ 多项式属于由 $s+t-1$ 生成的理想，从而完成验证。
• 当 $L^i = 0$ 对所有 $i > 2$ 成立时，该构造恢复了寇朗代数中李 2-代数的结构，与 Roytenberg 和 Weinstein 的先前结果一致。
• 该方法提供了 $L_{\infty}$-代数公理的直接证明，独立于 Fiorenza 与 Manetti 工作中使用的映射锥构造，并表明所得结构在度数平移下与他们的构造一致。