[论文解读] Higher-Dimensional Algebra V: 2-Groups

John C. Baez, Aaron D. Lauda|ArXiv.org|Jul 15, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用 221

一句话总结

本文对弱2-群与一致2-群提供了全面的介绍——即群律在指定同构下成立的范畴化群。通过一个‘改进’2-函子，建立了弱2-群与一致2-群之间的2-等价关系；利用群上同调对一致2-群进行分类；并从单连通紧致单李群 $G$ 的Chern–Simons理论构造了一族李2-群 $G_\hbar$，表明仅当 $\hbar=0$ 时，该结构可赋予标准拓扑。

ABSTRACT

A 2-group is a "categorified" version of a group, in which the underlying set G has been replaced by a category and the multiplication map has been replaced by a functor. Various versions of this notion have already been explored; our goal here is to provide a detailed introduction to two, which we call "weak" and "coherent" 2-groups. A weak 2-group is a weak monoidal category in which every morphism has an inverse and every object x has a "weak inverse": an object y such that x tensor y and y tensor x are isomorphic to 1. A coherent 2-group is a weak 2-group in which every object x is equipped with a specified weak inverse x* and isomorphisms i_x: 1 -> x tensor x* and e_x: x* tensor x -> 1 forming an adjunction. We describe 2-categories of weak and coherent 2-groups and an "improvement" 2-functor that turns weak 2-groups into coherent ones, and prove that this 2-functor is a 2-equivalence of 2-categories. We internalize the concept of coherent 2-group, which gives a quick way to define Lie 2-groups. We give a tour of examples, including the "fundamental 2-group" of a space and various Lie 2-groups. We also explain how coherent 2-groups can be classified in terms of 3rd cohomology classes in group cohomology. Finally, using this classification, we construct for any connected and simply-connected compact simple Lie group G a family of 2-groups G_hbar (for integral values of hbar) having G as its group of objects and U(1) as the group of automorphisms of its identity object. These 2-groups are built using Chern-Simons theory, and are closely related to the Lie 2-algebras g_hbar (for real hbar) described in a companion paper.

研究动机与目标

• 为初学者提供关于弱2-群与一致2-群的详细且易懂的导论，以弥补现有全面资料的不足。
• 澄清2-群不同表述形式之间的关系，包括严格2-群、交叉模与范畴群。
• 通过一个‘改进’2-函子，建立弱2-群2-范畴与一致2-群2-范畴之间的2-等价性。
• 利用群上同调对一致2-群进行分类，特别是 $H^3(G,H)$，并应用该分类构造新的李2-群实例。
• 探讨2-群的拓扑与几何约束，特别是证明当 $\hbar \neq 0$ 时，非平凡的 $G_\hbar$ 无法以标准拓扑实现。

提出的方法

• 将弱2-群定义为每个态射与对象均具有弱逆的弱张量范畴，且满足相干同构。
• 将一致2-群定义为具有指定弱逆及伴随同构 $i_x: 1 \to x \otimes \bar{x}$, $e_x: \bar{x} \otimes x \to 1$ 的弱2-群。
• 构造一个‘改进’2-函子，将每个弱2-群映射为一个一致2-群，并证明该函子在2-范畴之间实现2-等价。
• 在具有有限积的范畴中内化一致2-群的概念，以定义李2-群与特殊2-群。
• 利用群上同调 $H^3(G,H)$ 对一致2-群进行分类，其中 $G$ 为群，$H$ 为阿贝尔群，$\alpha$ 为 $G$ 在 $H$ 上的作用。
• 从单连通紧致单李群 $G$ 的Chern–Simons理论出发，构造一族2-群 $G_\hbar$，其中 $G$ 为对象群，$\mathrm{U}(1)$ 为单位元的自同态群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以数学上严格且对初学者友好的方式，精确地定义并区分弱2-群与一致2-群？
• RQ2 弱2-群2-范畴与一致2-群2-范畴之间是否存在2-范畴等价？
• RQ3 能否利用群上同调对一致2-群进行分类？该分类揭示了其结构的哪些特征？
• RQ4 在将2-群如 $G_\hbar$ 实现为具有标准拓扑的拓扑2-群或李2-群时，存在哪些拓扑障碍？
• RQ5 Chern–Simons理论如何为给定李群 $G$ 构造一族2-群 $G_\hbar$？其中 $\hbar \in \mathbb{Z}$ 的作用是什么？

主要发现

• 从弱2-群到一致2-群的‘改进’2-函子是2-等价，表明一致性并非一般性的损失。
• 一致2-群由四元组 $(G, H, \alpha, [a])$ 分类，其中 $[a] \in H^3(G, H)$，建立了完整的上同调分类。
• 对于连通紧致李群 $G$ 与阿贝尔李群 $H$，连续上同调 $H^3_{\rm cont}(G,H)$ 为零，意味着任何具有此类 $G$ 与 $H$ 的特殊拓扑2-群均与严格2-群等价。
• 由Chern–Simons理论构造的2-群 $G_\hbar$ 仅当 $\hbar = 0$ 时与严格2-群等价，表明非平凡的 $\hbar$ 值无法以标准拓扑实现。
• 当 $G$ 为单连通、紧致且单连通时，唯一具有 $G$ 为对象群、$\mathrm{U}(1)$ 为单位元自同态群（且具有标准拓扑）的拓扑2-群是 $G_0$，证明 $\hbar = 0$ 是唯一可行情形。
• 通过Chern–Simons理论构造 $G_\hbar$ 提供了一族自然的2-群，其与伴随论文中描述的李2-代数 $\mathfrak{g}_\hbar$ 密切相关。