[论文解读] Higher-Dimensional Algebra VI: Lie 2-Algebras

John C. Baez, Alissa S. Crans|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文通过2-向量空间——即向量空间范畴内的范畴——引入了半严格李2代数作为李代数的范畴化版本，其上配备了一个反对称双线性括号，满足雅克比恒等式，但仅在完全反对称的三线性自然同构（称为雅克比器）意义下成立。关键结果是：每个半严格李2代数都给出一个扎莫洛奇科夫四面体方程的解，且此类李2代数的2-范畴与2-项L∞-代数的2-范畴之间存在2-等价关系。

ABSTRACT

The theory of Lie algebras can be categorified starting from a new notion of "2-vector space", which we define as an internal category in Vect. There is a 2-category 2Vect having these 2-vector spaces as objects, "linear functors" as morphisms and "linear natural transformations" as 2-morphisms. We define a "semistrict Lie 2-algebra" to be a 2-vector space L equipped with a skew-symmetric bilinear functor satisfying the Jacobi identity up to a completely antisymmetric trilinear natural transformation called the "Jacobiator", which in turn must satisfy a certain law of its own. This law is closely related to the Zamolodchikov tetrahedron equation, and indeed we prove that any semistrict Lie 2-algebra gives a solution of this equation, just as any Lie algebra gives a solution of the Yang-Baxter equation. We construct a 2-category of semistrict Lie 2-algebras and prove that it is 2-equivalent to the 2-category of 2-term L-infinity algebras in the sense of Stasheff. We also study strict and skeletal Lie 2-algebras, obtaining the former from strict Lie 2-groups and using the latter to classify Lie 2-algebras in terms of 3rd cohomology classes in Lie algebra cohomology. This classification allows us to construct for any finite-dimensional Lie algebra g a canonical 1-parameter family of Lie 2-algebras g_hbar which reduces to g at hbar = 0. These are closely related to the 2-groups G_hbar constructed in a companion paper.

研究动机与目标

• 通过将2-向量空间作为基础结构，定义半严格李2代数，发展李代数的范畴化版本。
• 引入雅克比器作为替代李代数中雅克比恒等式的自然同构，并对其施加一致性公理。
• 建立半严格李2代数的2-范畴与2-项L∞-代数的2-范畴之间的2-等价关系。
• 通过3阶李代数上同调类对李2代数进行分类，从而实现从任意有限维李代数构造1参数族李2代数。
• 证明每个半严格李2代数均能给出扎莫洛奇科夫四面体方程的解，类比于李代数对杨-巴克斯方程的解。

提出的方法

• 将2-向量空间定义为向量空间范畴（Vect）内的范畴，其等价于向量空间的2-项链复形。
• 将半严格李2代数定义为配备有反对称双线性函子 [⋅,⋅]: L×L→L 及三线性自然同构（即雅克比器）的2-向量空间，并满足雅克比器恒等式。
• 将雅克比器恒等式表述为一致性公理，以确保四重括号重括号操作的一致性，类比于范畴化结合律中的五边形方程。
• 通过从任意半严格李2代数构造解，证明雅克比器恒等式等价于扎莫洛奇科夫四面体方程。
• 通过显式函子与自然同构，建立半严格李2代数的2-范畴与2-项L∞-代数的2-范畴之间的2-等价关系。
• 利用骨架李2代数与李代数上同调对所有李2代数进行分类，证明其同构类与李代数𝔤的H³(𝔤, 𝔤)类之间存在双射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将李代数的概念范畴化，以定义李2代数的一致概念？
• RQ2 雅克比器必须满足哪些一致性公理？这与扎莫洛奇科夫四面体方程等更高阶代数结构有何关联？
• RQ3 半严格李2代数与2-项L∞-代数之间存在何种关系？能否证明其范畴等价？
• RQ4 能否利用李代数上同调对李2代数进行分类？该分类对构造新例子有何启示？
• RQ5 从给定李代数𝔤构造1参数族李2代数的方法，如何与李2-群及其无穷小对应物的理论相联系？

主要发现

• 半严格李2代数被定义为配备有反对称双线性括号与三线性雅克比器自然同构的2-向量空间，且该同构满足一致性公理。
• 雅克比器恒等式被证明等价于扎莫洛奇科夫四面体方程，揭示了高阶李理论与拓扑场论之间深层联系。
• 每个半严格李2代数均能导出扎莫洛奇科夫四面体方程的一个解，这推广了李代数对杨-巴克斯方程的解。
• 半严格李2代数的2-范畴与2-项L∞-代数的2-范畴之间存在2-等价关系，为范畴化李理论与同伦理论之间架起桥梁。
• 骨架李2代数由3阶李代数上同调类H³(𝔤, 𝔤)分类，从而可从任意有限维李代数𝔤构造1参数族李2代数𝔤ℏ。
• 当ℏ=0时，该族退化为𝔤，且此构造是同伦论中庞特里亚金塔构造的无穷小类比，将李代数上同调与李n-代数的分类联系起来。