[论文解读] Higher Dimensional $SU(2)$ Static Skyrme Black Holes

Bobby Eka Gunara, Deden M. Akbar+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用 1

一句话总结

该论文在包含 $SU(2)$ 奇异性标量场和宇宙学常数 $Λ$ 的爱因斯坦-斯ki尔梅理论中，构建了静态、高维的黑洞解，假设时空几何共形于 $Σ^4 \times Σ^{N-4}$，其中 $N \geq 6$。主要贡献是在 $N \geq 6$ 维中，对有限能量、带毛的黑洞解给出了全局-局部存在性证明，$N=5$ 和 $N=4$ 分别为平坦或平凡的极限情况。

ABSTRACT

In this paper we construct a class of hairy static black holes of higher dimensional Einstein-Skyrme theories with the cosmological constant $Λ$ whose scalar is an $SU(2)$ chiral field. The spacetime is set to be conformal to $ \mathcal{M}^4 imes \mathcal{N}^{N-4}$ where $\mathcal{M}^4$ and $\mathcal{N}^{N-4}$ are a four dimensional spacetime and a compact Einstein $(N-4)$-dimensional submanifold for $N \ge 6$, whereas $N=5$ and $N=4$ are flat and the trivial case, respectively. We consider the behavior of the solutions near the boundaries and construct the global-local existence of finite energy solutions.

研究动机与目标

• 通过引入非交换的 $SU(2)$ 奇异性标量场，扩展对高维引力中黑洞解的理解。
• 探索在具有宇宙学常数的 $N$ 维爱因斯坦-斯ki尔梅理论中，静态、有限能量黑洞解的存在性与结构。
• 分析这些解在空间边界附近的性质，并确立其全局与局部存在性特征。
• 确定紧致爱因斯坦流形 $\mathcal{N}^{N-4}$ 在支持 $N \geq 6$ 维中带毛黑洞解中的作用。
• 澄清 $N=5$ 和 $N=4$ 的极限情况，其中额外维度分别为平坦或平凡。

提出的方法

• 假设时空几何共形于 $\mathcal{M}^4 \times \mathcal{N}^{N-4}$，其中 $\mathcal{M}^4$ 为四维时空，$\mathcal{N}^{N-4}$ 为维度为 $N-4$ 的紧致爱因斯坦流形。
• 将 $SU(2)$ 奇异性场作为斯ki尔梅作用量中的标量自由度，与引力和宇宙学常数 $\Lambda$ 耦合。
• 从包含 $\Lambda$ 的爱因斯坦-斯ki尔梅作用量推导场方程，重点研究高维中静态、球对称解。
• 分析解在渐近区域和视界附近的性质，以确保能量有限且解在几何上正则。
• 应用全局与局部存在性定理，证明满足无穷远处与视界边界条件的解存在。
• 利用共形结构将 $\mathcal{M}^4$ 与 $\mathcal{N}^{N-4}$ 两个部分解耦，从而简化高维解的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有 $SU(2)$ 奇异性标量场的高维爱因斯坦-斯ki尔梅理论中构造出静态、有限能量的黑洞解？
• RQ2 宇宙学常数 $\Lambda$ 的存在如何影响这些带毛黑洞的存在性与结构？
• RQ3 紧致爱因斯坦流形 $\mathcal{N}^{N-4}$ 在支持 $N \geq 6$ 维中高维黑洞解方面起什么作用？
• RQ4 解在事件视界和空间无穷远处的行为如何？哪些条件能确保能量有限？
• RQ5 当 $N=5$ 和 $N=4$ 时，即额外维度为平坦或平凡时，其含义是什么？

主要发现

• 在爱因斯坦-斯ki尔梅框架下，于 $N \geq 6$ 维中构造出了具有 $SU(2)$ 奇异性毛发的有限能量、静态黑洞解。
• 解在全局和局部上均定义良好，在视界和空间无穷远处行为正则。
• 时空几何共形于 $\mathcal{M}^4 \times \mathcal{N}^{N-4}$，其中 $\mathcal{N}^{N-4}$ 为维度 $N-4$ 的爱因斯坦流形。
• 当 $N=5$ 时，额外维度为平坦，解退化为具有 $SU(2)$ 毛发的四维黑洞。
• 当 $N=4$ 时，解变为平凡，因为不存在支持紧致流形 $\mathcal{N}^{0}$ 的额外维度。
• 宇宙学常数 $\Lambda$ 被一致地引入，其存在与有限能量解的存在性相容。