[论文解读] Higher Du Bois and higher rational singularities

Robert Friedman, Radu Laza|arXiv (Cornell University)|May 10, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文引入了 $k$-有理和 $k$-Du Bois 奇点作为有理和 Du Bois 奇点的高阶推广，证明了在具有 $k$-Du Bois 局部完全交纤维的平坦正规族中，高阶直接像 $R^q f_* Ω^p_{ω/Y}$ 对于 $p \leq k$ 是局部自由的且与基变换相容。这扩展了 Du Bois 的基础结果，并确立了 $k$-Du Bois 奇点对超曲面蕴含 $(k-1)$-有理性，其应用包括 Hodge 数的常数性以及 Calabi-Yau 代数簇的无阻塞形变。

ABSTRACT

We prove that the higher direct images $R^qf_*Ω^p_{\mathcal Y/S}$ of the sheaves of relative Kähler differentials are locally free and compatible with arbitrary base change for flat proper families whose fibers have $k$-Du Bois local complete intersection singularities, for $p\leq k$ and all $q\geq 0$, generalizing a result of Du Bois (the case $k=0$). We then propose a definition of $k$-rational singularities extending the definition of rational singularities, and show that, if $X$ is a $k$-rational variety with either isolated or local complete intersection singularities, then $X$ is $k$-Du Bois. As applications, we discuss the behavior of Hodge numbers in families and the unobstructedness of deformations of singular Calabi-Yau varieties. In an appendix, Morihiko Saito proves that, in the case of hypersurface singularities, the $k$-rationality definition proposed here is equivalent to a previously given numerical definition for $k$-rational singularities. As an immediate consequence, it follows that for hypersurface singularities, $k$-Du Bois singularities are $(k-1)$-rational. This statement has recently been proved for all local complete intersection singularities by Chen-Dirks-Mustaţă.

研究动机与目标

• 将 Du Bois 关于 $R^q f_* \mathcal{O}_\mathcal{Y}$ 局部自由性的定理推广到具有 $k$-Du Bois 奇点族中更高形式 $\Omega^p$（$p \leq k$）的情形。
• 通过定义 $k$-有理奇点作为有理奇点的高阶推广，将经典概念扩展至具有受控 Hodge 理论行为的奇异代数簇。
• 通过对偶性和 Hodge 模理论，建立 $k$-Du Bois 奇点蕴含超曲面上的 $(k-1)$-有理性。
• 将结果应用于 Hodge 数常数性问题以及奇异 Calabi-Yau 代数簇形变的无阻塞性。

提出的方法

• 通过 Kähler 到 Du Bois 映射 $\phi^p: \Omega^p_Y \to \underline{\Omega}^p_Y$ 在 $0 \leq p \leq k$ 范围内的拟同构性质来定义 $k$-Du Bois 奇点。
• 利用局部完全交（lci）假设控制奇点集的余维数，并证明当 $p \leq k$ 时 $\Omega^p_{\mathcal{Y}/S}$ 关于 $S$ 的平坦性。
• 应用对偶性理论与混合 Hodge 模，将 $\mathbb{D}(\underline{\Omega}_X^k)[-d_X]$ 与 $\mathbb{Q}_h[X][d_X]$ 上的 Hodge 滤子联系起来，利用 Hodge 理想理论。
• 利用典范态射 $\mathbb{Q}_h[X][d_X] \to \mathbb{D}(\mathbb{Q}_h[X](d_X)[d_X])$ 及其在分次部分上的诱导映射，检测当 $\widetilde{\alpha}_X = k+1$ 时同构失败的情况，从而导出矛盾。
• 利用 Saito 的对偶性与 Mustaţă–Olano–Popa–Witaszek 对偶定理，证明对超曲面而言 $k$-Du Bois 蕴含 $(k-1)$-有理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有奇点的族中，$R^q f_* \Omega^p_{\mathcal{Y}/S}$ 在何种条件下对 $p \leq k$ 是局部自由的且与基变换相容？
• RQ2 是否存在一个自然的有理奇点高阶推广，可将经典概念扩展至更高形式？
• RQ3 在超曲面情形下，$k$-Du Bois 与 $k$-有理奇点之间有何关系？$k$-Du Bois 是否蕴含 $(k-1)$-有理性？
• RQ4 在纤维具有 $k$-Du Bois 奇点的族中，Hodge 数 $\underline{h}^{p,q}$ 的常数性是否可推广至 $p \leq k$？
• RQ5 Hodge 理想 $I_k(X)$ 在检测 Kähler 到 Du Bois 映射在第 $k$ 个度数上非同构失败时起何作用？

主要发现

• 对于具有 $k$-Du Bois 局部完全交奇点的平坦正规族 $f: \mathcal{Y} \to S$，所有 $q \geq 0$ 和 $0 \leq p \leq k$ 的层 $R^q f_* \Omega^p_{\mathcal{Y}/S}$ 是局部自由的且与基变换相容。
• 所提出的 $k$-有理奇点定义表明，$k$-Du Bois 奇点蕴含超曲面上的 $(k-1)$-有理性，该结论通过 duality 与 Hodge 模分析得以证明。
• 对于具有 $k$-Du Bois 奇点的超曲面 $X \subset Y$，有 $\widetilde{\alpha}_X > k+1$ 成立，这意味着当 $\widetilde{\alpha}_X = k+1$ 时，典范态射 $\Omega^k_X \to \underline{\Omega}^k_X$ 不是同构，从而导致矛盾。
• 在某些纤维 $Y_s$ 具有 $k$-Du Bois lci 奇点的族中，Hodge 数 $\underline{h}^{p,q}(Y_s)$ 对于 $p \leq k$ 是常数，且与光滑纤维的 Hodge 数一致。
• 本文提出的 $k$-有理性条件与 Saito 在附录中证明的超曲面上的数值 $k$-有理性条件等价，确认了与先前定义的一致性。