[论文解读] Higher fundamental functors for simplicial sets

Marco Grandis|ArXiv.org|Sep 1, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 11

一句话总结

本文通过将同伦理论扩展到对称单纯集的拓扑斯（!Smp），引入了单纯集的高阶基本函子，其中基本群胚成为对称神经函子的左伴随，且保持所有并集——从而提供了一个强大且保持并集的塞弗特–范坎彭定理版本。该框架可推广至高维情形，建立更高维的基本n-范畴与ω-范畴的左伴随函子，在定向单纯集设定下亦有类似结果。

ABSTRACT

This is a sequel to a previous paper, developing an intrinsic, combinatorial homotopy theory for simplicial complexes; the latter form the cartesian closed subcategory of 'simple presheaves' in !Smp, the topos of symmetric simplicial sets, or presheaves on the category of finite, positive cardinals. We show here how this homotopy theory can be extended to the topos itself, !Smp. As a crucial advantage, the fundamental groupoid functor !Smp --> Gpd is left adjoint to a natural functor Gpd --> !Smp, the symmetric nerve of a groupoid, and preserves all colimits - a strong van Kampen property. Similar results hold in all higher dimensions. Analogously, a notion of (non-reversible) directed homotopy can be developed in the ordinary simplicial topos Smp, with applications to image analysis as in the previous paper. We have now a 'homotopy n-category functor' Smp --> n-Cat, left adjoint to a nerve functor. This construction can be applied to various presheaf categories; the basic requirements seem to be: finite products of representables are finitely presentable and there is a representable 'standard interval'.

研究动机与目标

• 在对称单纯集的拓扑斯中发展一种组合同伦理论，支持一个强大且保持并集的塞弗特–范坎彭定理版本。
• 将基本群胚构造推广至高维，定义高阶基本n-群胚与ω-群胚为神经函子的左伴随。
• 在标准单纯集拓扑斯中引入定向同伦理论，使用定向整数线并定义基本范畴函子为通常神经函子的左伴随。
• 建立在预层范畴中构造组合同伦理论的条件，基于表示函子的有限积与标准区间。
• 探究高阶基本ω-范畴函子是否与Street的ω-神经函子一致，以及单纯形的定向体是否作为标准单纯形的基本n-范畴出现。

提出的方法

• 使用对称单纯集的拓扑斯（!Smp）作为环境范畴，其中基本群胚Π₁是到对称神经函子M₁的左伴随。
• 应用预层自函子的提升技术，将高阶基本函子的计算简化为底层的集合值函子。
• 通过组合整数线Z（对称情形）或↑Z（定向情形）参数化同伦，使用连续性或连续关系。
• 通过路径对象的滤子并集构造高阶基本n-范畴函子↑Πₙ，作为受限神经函子Nₙ的左伴随。
• 证明表示函子的有限积是表示函子的有限并集（条件A），且标准区间[1]诱导出一个交换、对合的立方体幺半群（条件B），从而支持同伦构造。
• 提出一个适用于满足条件(A)与(B)的预层拓扑斯的组合同伦理论的一般框架，适用于单纯、立方与胞状范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称单纯集的基本群胚能否被实现为对称神经函子的左伴随，从而保持所有并集并导出一个强大的范坎彭定理？
• RQ2 对称单纯集中的高阶基本n-群胚是否也作为神经函子的左伴随出现，其代数结构为何？
• RQ3 在普通单纯集的定向设定中，基本范畴函子↑Π₁是否保持并集并作为通常神经函子N₁的左伴随？
• RQ4 在单纯集上，高阶基本ω-范畴函子↑Πω是否同构于Street的ω-神经函子，且是否将标准n-单纯形∆[n]映射为定向体On？
• RQ5 何种一般条件可确保在某一范畴上构造出具有保持并集的基本函子的组合同伦理论？

主要发现

• 在对称单纯集!Smp上，基本群胚函子Π₁是对称神经函子M₁的左伴随，因此保持所有并集，从而提供一个强大且简洁的塞弗特–范坎彭定理版本。
• 在!Smp中，高阶基本n-群胚被构造为神经函子的左伴随，其中粘合定理（定理3.9）确立了其存在性与并集保持性。
• 在定向拓扑斯Smp中，基本范畴函子↑Π₁是通常神经函子N₁的左伴随，且保持所有并集，从而推广了经典范坎彭结果。
• 在Smp上，高阶基本n-范畴函子↑Πₙ是受限神经函子Nₙ的左伴随，且↑Πₙ保持所有并集，暗示其具有强同伦性质。
• 本文推测↑Πω(∆[n])可能与Street的定向体On一致，且ω-神经函子Nω可能与Street的ω-神经函子等价，但此问题仍为开放问题。
• 条件(A)与(B)——即表示函子的有限积与存在具有对合结构的标准区间——构成在预层拓扑斯中构造组合同伦理论的一般框架。