[论文解读] Higher genus curves on toric varieties

Mihai Halic|ArXiv.org|Jan 11, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 3

一句话总结

该论文提出一种组合方法，用于在映射度充分大时，计算从固定亏格g的曲线到光滑、射影的 тор簇的映射空间的光滑紧化空间上的交数。通过在曲线的Picard环面上的等变上同调与局部化技术，推导出某些交积的显式公式，并基于定义该 тор簇的扇形的本原集合建立消去结果。

ABSTRACT

Given a smooth and projective curve C and a smooth and projective toric variety X, we first describe a compactification of the space of morphisms from C to X representing a fixed homology class, and after we study the intersection theory on this variety.

研究动机与目标

• 描述当映射度充分大时，从固定光滑、射影的亏格g曲线到光滑、射影的 тор簇的映射空间。
• 构建该映射空间的一个光滑、射影的紧化空间，该空间与Kontsevich-Manin稳定映射空间的一个不可约分支有双有理关系。
• 使用等变上同调与局部化技术，计算该紧化空间上的交数。
• 推导特定交积的显式公式，并基于该 тор簇的扇形的组合学建立消去条件。

提出的方法

• 利用该 тор簇的扇形结构，在C^r上定义T-作用，并将X实现为商Ω/T，其中Z_X = C^r ∕ Ω的余维数≥2。
• 构造映射空间Mor_d(C,X)的紧化空间V，当d足够大时，V是光滑的且具有预期维数。
• 在曲线C的Picard环面应用等变局部化，将V上的积分问题约化为在Picard簇的积的不动点上的积分。
• 利用扇形的结构定义θ类与紧化空间上的线丛Λ_ρ，并通过已知的射影丛结果计算推出映射(q_x)_*(∏Λ_ρ^{k_ρ})。
• 应用局部化公式（定理4.5），将V上的积分表达为对X^S中不动点x的求和，每个x的贡献取决于哪些射线ρ属于σ_n(x)。
• 对指数m_ρ施加条件，以确保当r ∈ σ_n(x)时的项消失，从而通过将变量设为零实现简化，最终在命题4.7中得到显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当映射度大到使空间光滑且具有预期维数时，如何计算从亏格g曲线到toric簇的映射空间上的交数？
• RQ2 此类映射空间的紧化结构是怎样的？它与Kontsevich-Manin稳定映射紧化空间有何关系？
• RQ3 能否通过等变局部化技术，为该紧化空间上的特定交积推导出显式公式？
• RQ4 在扇形的组合条件下，何时该monomial在Λ_ρ类上的积分会消失？
• RQ5 Picard簇的θ类与扇形的组合学如何共同决定交数？

主要发现

• 当度数充分大时，映射空间Mor_d(C,X)是光滑的且具有预期维数，从而允许其具有行为良好的紧化空间V。
• 若指标{ρ}满足m_ρ ≥ N_ρ + g的集合构成扇形的一个本原集合，则积分∫_V Λ_1^{m_1}⋯Λ_r^{m_r}为零。
• 当m_ρ = d_ρ + 1 + a_ρ（ρ=1,…,r−1）且m_r = d_r − ng − (l + a_r − 1)，且d_r足够大时，积分简化为对满足r ∉ σ_n(x)的不动点x ∈ X^S的求和，其贡献由(q_x)_*给出，包含Λ_ρ^{m_ρ}的乘积与涉及θ_ρ^b / b!的修正项。
• 命题4.7中的公式将q_*Λ^{m_ρ}表达为对满足r ∉ σ_n(x)的不动点x的求和，涉及已知度数公式的射影丛上的推出映射。
• 命题4.8中的消去结果表明，若集合J ⊂ Σ(1)是本原集合，且对所有ρ ∈ J有m_ρ ≥ N_ρ + g，则积分消失，原因在于不存在满足J ⊂ σ_n(x)的此类x。
• V上的整个积分问题被约化为扇形的组合数据与Picard簇的θ类，表明交数仅依赖于toric簇的组合结构与曲线的模空间。