[论文解读] Higher genus relative and orbifold Gromov-Witten invariants of curves

Hsian‐Hua Tseng, Fenglong You|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 8

一句话总结

该论文通过证明当 $ r $ 足够大时，相对不变量等于 $ r $-次根叠层上轨道不变量的 $ r^0 $-系数，建立了光滑曲线的高亏格相对与轨道 Gromov-Witten 不变量之间的精确对应关系。该工作将 Abramovich-Cadman-Wise 的结果推广至高亏格情形，并证明了两种理论中平稳不变量的相等性，从而为已知公式提供了新证明，并建立了平稳轨道不变量的 GW/H 对应关系。

ABSTRACT

Given a smooth target curve $X$, we explore the relationship between Gromov-Witten invariants of $X$ relative to a smooth divisor and orbifold Gromov-Witten invariants of the $r$-th root stack along the divisor. We proved that relative invariants are equal to the $r^0$-coefficient of the corresponding orbifold Gromov-Witten invariants of $r$-th root stack for $r$ sufficiently large. Our result provides a precise relation between relative and orbifold invariants of target curves generalizing the result of Abramovich-Cadman-Wise to higher genus invariants of curves. Moreover, when $r$ is sufficiently large, we proved that relative stationary invariants of $X$ are equal to the orbifold stationary invariants in all genera. Our results lead to some interesting applications: a new proof of genus zero equality between relative and orbifold invariants of $X$ via localization; a new proof of the formula of Johnson-Pandharipande-Tseng for double Hurwitz numbers; a version of GW/H correspondence for stationary orbifold invariants.

研究动机与目标

• 将 Abramovich-Cadman-Wise 关于相对与轨道不变量的对应关系推广至光滑曲线的高亏格不变量。
• 证明当 $ r $ 足够大时，光滑曲线 $ X $ 的相对平稳不变量在所有亏格下均等于 $ r $-次根叠层上轨道平稳不变量。
• 利用局部化与新对应关系，为已知公式（包括 Johnson-Pandharipande-Tseng 的双 Hurwitz 数公式）提供新证明。
• 为曲线上平稳轨道不变量开发 GW/H 对应关系的版本。

提出的方法

• 沿光滑曲线 $ X $ 上的光滑除子构造 $ r $-次根叠层，使用代数叠层来建模轨道结构。
• 利用关于 $ r $ 的生成函数，将根叠层的轨道不变量与 $ X $ 的相对不变量关联，特别关注 $ r^0 $-系数。
• 对根叠层上稳定映射的模空间应用局部化技术，尤其在亏格零情形，证明相对不变量与轨道不变量的相等性。
• 利用 $ r $-次根叠层的结构，证明平稳不变量在 $ r \to \infty $ 时趋于稳定值，从而表明其与相对不变量相等。
• 将 $ r^0 $-系数提取作为关键机制，从轨道不变量中恢复相对不变量。
• 将该对应关系应用于推导已知结果的新证明，例如 Johnson-Pandharipande-Tseng 关于双 Hurwitz 数的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ r $ 足够大时，光滑曲线 $ X $ 的相对 Gromov-Witten 不变量与沿除子的 $ r $-次根叠层上轨道不变量之间有何关系？
• RQ2 当 $ r \to \infty $ 时，能否通过 $ r $-次根叠层上轨道不变量的 $ r^0 $-系数恢复 $ X $ 的平稳相对不变量？
• RQ3 该相对与轨道不变量之间的对应关系是否可推广至亏格零以上的高亏格不变量？
• RQ4 能否通过此构造将 GW/H 对应关系适配于曲线上平稳轨道不变量？
• RQ5 能否利用此框架通过局部化技术重新证明已知公式，例如 Johnson-Pandharipande-Tseng 关于双 Hurwitz 数的公式？

主要发现

• 当 $ r $ 足够大时，光滑曲线 $ X $ 的相对 Gromov-Witten 不变量等于其沿光滑除子的 $ r $-次根叠层上对应轨道不变量的 $ r^0 $-系数。
• 当 $ r $ 足够大时，$ X $ 在所有亏格下的相对平稳不变量与 $ r $-次根叠层上轨道平稳不变量完全一致。
• 通过将局部化技术应用于根叠层构造，获得了相对与轨道不变量在亏格零情形下相等性的新证明。
• 利用相对与轨道不变量之间的对应关系，重新证明了 Johnson-Pandharipande-Tseng 关于双 Hurwitz 数的公式。
• 为曲线上平稳轨道不变量建立了 GW/H 对应关系的版本，将已知对应关系推广至该设定。