[论文解读] Higher Green's functions for modular forms

Anton Mellit|ArXiv.org|Apr 20, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 11

一句话总结

本文建立了模形式的高阶 Green 函数与椭圆曲线幂上的高阶 Chow 群之间的联系，证明了在 CM 点处的 Green 函数值是代数数对数的代数倍。对于 $\Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$，$k=2$，且一个变量取值为 $\mathrm{i}$ 的情形，构造了显式高阶循环，其交点数可计算这些值，通过 Abel-Jacobi 映射与上同调技术，证实了该情形下的代数性猜想。

ABSTRACT

Higher Green functions are real-valued functions of two variables on the upper half plane which are bi-invariant under the action of a congruence subgroup, have logarithmic singularity along the diagonal, but instead of the usual equation $Δf=0$ we have equation $Δf = k(1-k) f$. Here $k$ is a positive integer. Properties of these functions are related to the space of modular forms of weight $2k$. In the case when there are no cusp forms of weight $2k$ it was conjectured that the values of the Green function at points of complex multiplication are algebraic multiples of logarithms of algebraic numbers. We show that this conjecture can be proved in any particular case if one constructs a family of elements of certain higher Chow groups on the power of a family of elliptic curves. These families have to satisfy certain properties. A different family of elements of Higher Chow groups is needed for a different point of complex multiplication. We give an example of such families, thereby proving the conjecture for the case when the group is $PSL_2(\mathbf Z)$, $k=2$ and one of the arguments is $\sqrt{-1}$.

研究动机与目标

• 证明当不存在权为 $2k$ 的尖点形式时，高阶 Green 函数在 CM 点处的取值为代数数对数的代数倍的猜想。
• 建立一个将高阶 Green 函数与椭圆曲线幂上的高阶 Chow 群相联系的一般框架。
• 在 $E^{2k-2}$ 上构造显式高阶循环族，通过交点理论与 Abel-Jacobi 映射计算 Green 函数的取值。
• 通过计算相关交点数，验证在 $\Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$，$k=2$，$\tau_2 = \mathrm{i}$ 的特定情形下，该猜想成立。
• 证明在 $\left(\frac{-1 + \sqrt{-7}}{2}, \mathrm{i}\right)$ 处 Green 函数的取值为 $\frac{8}{\sqrt{7}}\log(8 - 3\sqrt{7})$，从而确认其代数性。

提出的方法

• 为由族 $\{E_s\}_{s \in S}$ 参数化的椭圆曲线 $E$ 构造 $CH^k(E^{2k-2}, 1)$ 中的高阶循环，方法为使用余维数 $k-1$ 的子簇与除子和为零的有理函数。
• 将 Abel-Jacobi 映射 $AJ^{k,1}$ 应用于这些循环，将其映射到涉及 $F^k$ 与 $2\pi i H^{2k-2}(E^{2k-2}, \mathbb{Z})$ 的复上同调群的商空间。
• 利用由 $\frac{\omega \otimes \bar\omega + \bar\omega \otimes \omega}{\int_E \omega \wedge \bar\omega}$ 表示的典范上同调类 $[\theta] \in H^2(E^2, \mathbb{C})$ 定义一个配对。
• 通过计算 $\Re\left(\mathrm{i}^{k-1}(AJ^{k,1}[x], [\theta]^{k-1})\right)$ 的实部，提取对应于 Green 函数取值的实数。
• 当 $k=2$ 时，通过曲线 $W$ 与 Heegner 循环的形变 $\Gamma_\phi$ 的交点，在 $E^2$ 上构造特定的高阶循环族，并显式计算交点数。
• 使用代数几何技术，包括在 $\mathbb{Q}(\mu, \mathrm{i})$ 中的范数计算，其中 $\mu = \sqrt{7}$，以评估交点处函数值的乘积，并通过洛朗展开包含无穷远处的贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过高阶 Chow 循环与 Abel-Jacobi 映射证明高阶 Green 函数在 CM 点处的代数性猜想？
• RQ2 对于 $\Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$，$k=2$，且 $\tau_2 = \mathrm{i}$，$G_2^{\mathfrak{H}/\Gamma}(\tau_1, \mathrm{i})$ 的取值是否为代数数对数的代数倍？
• RQ3 是否存在 $CH^2(E_s^2, 1)$ 中的高阶循环族，其 Abel-Jacobi 像可计算在 CM 点 $\tau_1$ 处的 Green 函数取值？
• RQ4 对于 $\tau_1 = \frac{-1 + \sqrt{-7}}{2}$，是否存在精确的代数数 $\alpha$，使得 $G_2^{\mathfrak{H}/\Gamma}(\tau_1, \mathrm{i}) = (D_1 D_2)^{-(1/2)} \log \alpha$？
• RQ5 如何通过代数几何与上同调配对，显式计算高阶循环与 Heegner 循环的交点数？

主要发现

• 通过在 $E^2$ 上构造高阶循环族，其交点数可计算 Green 函数取值，证实了在 $\Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$，$k=2$，$\tau_2 = \mathrm{i}$ 情形下该猜想成立。
• 在 $\left(\frac{-1 + \sqrt{-7}}{2}, \mathrm{i}\right)$ 处，Green 函数的取值为 $G_2^{\mathfrak{H}/\Gamma}\left(\frac{-1 + \sqrt{-7}}{2}, \mathrm{i}\right) = \frac{8}{\sqrt{7}}\log(8 - 3\sqrt{7})$，确认了其代数性。
• 高阶循环与 Heegner 循环 $Z_\tau$ 的交点数为 $u^8$，其中 $u = -1 + \sqrt{7} - 2\mathrm{i} - \mathrm{i}\sqrt{7}$ 是 $\mathbb{Z}[\sqrt{7}, \mathrm{i}]$ 中的单位。
• 计算包括四个有限交点与一个无穷远点的贡献，后者贡献因子 $-2b u^3$，其中 $b$ 为常数。
• 在 $\mathbb{Q}(\mu, \mathrm{i})$ 上的范数计算得到范数乘积为 $14^4 u$，在包含无穷远点贡献后，总交点数变为 $14^6 u^4$，经调整后得到 $u^8$。
• 计算了抛物上同调与上同调群的常数 $N_A = 1$ 与 $N_B = 2$，得到 $N = 2$，该值用于 Green 函数的最终归一化。