[论文解读] Higher Groupoid Actions, Bibundles, and Differentiation

Li Du|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 6

一句话总结

本论文采用单纯方法研究高阶群胚的作用、主丛及双丛，利用区间上的Kan纤维丛与内Kan纤维丛。研究证明了单纯定义与基于范畴化的2-群胚方法一致，并建立了高阶李群胚微分化为高阶李代数超群的关键定理。

ABSTRACT

In this thesis, we employ simplicial methods to study actions, principal bundles, and bibundles of higher groupoids. Roughly, we use Kan fibrations to model actions of higher groupoids, we use pairs of a Kan fibration and a special acyclic fibration to model principal bundles of higher groupoids, we use inner Kan fibrations over the interval to model bibundles of higher groupoids. In particular, we show that our definitions given by the simplicial method agree with those given by the categorification approach to actions, principal bundles, and bibundles of 2-groupoids. In addition, we use the simplicial technique to prove a theorem on differentiation of higher Lie groupoids, which shows that the differentiation functor sends a higher Lie groupoid to a higher Lie algebroid.

研究动机与目标

• 开发一个单纯框架，用于建模高阶群胚的作用、主丛及双丛。
• 调和单纯定义与现有基于范畴化的2-群胚方法之间的关系。
• 为高阶李群胚微分化为高阶李代数超群提供严格的理论基础。
• 利用同伦代数将经典李群胚理论推广至高阶范畴结构。
• 建立高阶群胚结构的几何模型与代数模型之间的协调性。

提出的方法

• 通过群胚的分类空间上的Kan纤维丛来建模高阶群胚的作用。
• 利用一对Kan纤维丛与特殊的可缩纤维丛来表示主丛。
• 通过单纯范畴中区间对象上的内Kan纤维丛来建模双丛。
• 使用单纯技巧，包括提升性质与余骨架函子，分析纤维丛。
• 应用准范畴与Kan复形理论，确保同伦一致性。
• 通过单纯逼近构造从高阶李群胚到高阶李代数超群的微分化函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用单纯方法来定义并表征高阶群胚的作用？
• RQ2 在高阶群胚的背景下，主丛与双丛的单纯表征是什么？
• RQ3 高阶群胚的作用、丛与双丛的单纯定义是否与基于范畴化的2-群胚定义一致？
• RQ4 能否通过单纯技巧严格建立从高阶李群胚到高阶李代数超群的微分化函子？
• RQ5 提升性质与纤维丛在确保高阶群胚结构的一致性中起什么作用？

主要发现

• 对于2-群胚而言，高阶群胚的作用、主丛与双丛的单纯定义与基于范畴化的对应定义等价。
• 从高阶李群胚到高阶李代数超群的微分化函子是良好定义的，并保持了相关的几何与代数结构。
• Kan纤维丛在单纯设定中为群胚作用提供了自然模型，推广了经典的作用原理。
• 在区间上使用内Kan纤维丛可正确建模双丛，捕捉了高阶群胚的Morita等价结构。
• 余骨架与骨架函子的使用使得对高阶群胚单纯结构的控制更加有效。
• 该框架支持系统化的微分化过程，表明高阶李群胚可通过单纯逼近积分生成高阶李代数超群。