[论文解读] Higher homotopy of groups definable in o-minimal structures

Alessandro Berarducci, Marcello Mamino+1 more|ArXiv.org|Sep 29, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文证明了可定义紧致群的o-极小高阶同伦群同构于其对应的紧致李群的同伦群，证明了所有同维数的阿贝尔可定义紧致群在可定义同伦等价意义下彼此同伦等价，且其万有覆叠是收缩的。该结果通过模型论工具将经典同伦理论推广至o-极小结构，并将经典拓扑结果转移至o-极小设定。

ABSTRACT

It is known that a definably compact group G is an extension of a compact Lie group L by a divisible torsion-free normal subgroup. We show that the o-minimal higher homotopy groups of G are isomorphic to the corresponding higher homotopy groups of L. As a consequence, we obtain that all abelian definably compact groups of a given dimension are definably homotopy equivalent, and that their universal cover are contractible.

研究动机与目标

• 通过研究可定义紧致群的高阶同伦群，将经典同伦理论推广至o-极小结构。
• 建立可定义紧致群的o-极小高阶同伦群与其相关紧致李群的同伦群之间的同构关系。
• 证明所有同维数的阿贝尔可定义紧致群在可定义同伦等价意义下彼此同伦等价。
• 证明阿贝尔可定义紧致群的万有覆叠在局部可定义空间范畴中是收缩的。

提出的方法

• 利用o-极小H-空间结构及[1]中的转移定理，关联o-极小同伦群与经典同伦群。
• 利用o-极小高阶同伦群的可除性与有限生成性，证明阿贝尔情形下其平凡性。
• 应用[1]与[2]中的o-极小Whitehead定理，推导出万有覆叠的收缩性。
• 利用纤维丛的长正合同伦序列及无中心与半单群的结构，将非阿贝尔情形约化为已知结果。
• 利用[1]中的结果，特别是实代数数上半代数群的情形，建立o-极小同伦群与经典同伦群之间的同构。
• 应用o-极小Poincaré-Hurewicz定理及[4]中的上同调同构，支持同伦同构结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 可定义紧致群G的o-极小高阶同伦群πₙ(G)是否与商群G/G⁰⁰的同伦群πₙ(G/G⁰⁰)一致？
• RQ2 所有同维数的阿贝尔可定义紧致群是否在可定义同伦等价意义下彼此同伦等价？
• RQ3 阿贝尔可定义紧致群的万有覆叠群在局部可定义空间范畴中是否为收缩的？
• RQ4 o-极小同伦群与经典同伦群之间的同构是否可推广至半代数群的高阶同伦群？
• RQ5 o-极小H-空间的结构能否用于将经典同伦有限性结果转移至o-极小设定？

主要发现

• 任意可定义紧致群G的o-极小高阶同伦群πₙ(G)同构于其相关紧致李群G/G⁰⁰的经典高阶同伦群πₙ(G/G⁰⁰)。
• 对于阿贝尔可定义紧致群，所有n > 1的高阶同伦群πₙ(G)均为平凡，意味着其在可定义同伦等价意义下同伦等价于同维数的环面。
• 阿贝尔可定义紧致群的万有覆叠群在局部可定义空间范畴中是收缩的，因为其所有同伦群均为平凡。
• 通过约化至半单情形，利用纤维丛与中心结构，该结果可推广至非阿贝尔群，且对所有n ≥ 1均有πₙ(G) ≅ πₙ(G/G⁰⁰)成立。
• 对于实代数数上的半代数群，有同构πₙ(G(M)) ≅ πₙ(G(ℝ))，从而实现从o-极小拓扑到经典拓扑的转移。
• [4]中的上同调同构结果支持同伦同构，尤其通过万有系数定理及域上同调的有限维性。