[论文解读] Higher Independence Complexes of graphs and their homotopy types

Priyavrat Deshpande, Anurag Singh|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 23被引用 5

一句话总结

该论文利用离散莫尔斯理论，确定了若干图族的 r-独立性复形的同伦类型，包括完全 s-部图、全须图、环图和完美 m-叉树。结果表明，这些复形要么是可缩的，要么同伦等价于同维球面的楔和，并基于图参数和 r 给出了其拓扑结构的闭式公式。

ABSTRACT

For $r\geq 1$, the $r$-independence complex of a graph $G$ is a simplicial complex whose faces are subset $I \subseteq V(G)$ such that each component of the induced subgraph $G[I]$ has at most $r$ vertices. In this article, we determine the homotopy type of $r$-independence complexes of certain families of graphs including complete $s$-partite graphs, fully whiskered graphs, cycle graphs and perfect $m$-ary trees. In each case, these complexes are either homotopic to a wedge of equi-dimensional spheres or are contractible. We also give a closed form formula for their homotopy types.

研究动机与目标

• 为 r ≥ 2 时的高阶独立性复形（r-Ind(G)）建立系统研究，推广经典独立性复形理论。
• 确定特定图族（如完全 s-部图、全须图、环图和完美 m-叉树）的 r-Ind(G) 的同伦类型。
• 提供同伦类型的闭式公式，包括楔和分解中的维数和球面数量。
• 探索 r-Ind(G) 的拓扑性质与支配数、色数等组合不变量之间的联系。

提出的方法

• 利用离散莫尔斯理论在 r-独立性复形上构造最优莫尔斯函数，以推导其同伦类型。
• 定义 r-独立性复形 Ind_r(G) 为顶点子集 I ⊆ V(G) 的单纯复形，使得 G[I] 的每个连通分支至多包含 r 个顶点。
• 针对每类图，作者构造了一个离散莫尔斯函数，其临界胞腔对应于楔和分解中的球面。
• 同伦类型的维数和球面数量由临界胞腔的结构以及顶点数、树高这类图不变量推导得出。
• 使用 SageMath 和 Macaulay2 等计算工具验证同调群，并为网格图支持猜想。
• 理论结果通过图族上的显式构造和归纳论证得到支持。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些图族，r-独立性复形同伦等价于球面的楔和或可缩？
• RQ2 对于完全 s-部图，Ind_r(G) 的楔和分解中球面的精确维数和数量是多少？
• RQ3 当 G 为环图或完美 m-叉树时，能否推导出 Ind_r(G) 同伦类型的闭式公式？
• RQ4 r-独立性复形与图的 r-支配数或 r-色数之间是否存在普遍关系？
• RQ5 在何种条件下，弦图的 r-独立性复形是顶点可分解的或可壳化的？

主要发现

• 完全 s-部图的 r-独立性复形同伦等价于 (r−1) 维球面的楔和，球面数量由涉及 s 和 r 的组合公式决定。
• 对于全须图，r-独立性复形要么是可缩的，要么同伦等价于 (r−1) 维球面的楔和，球面数量取决于须的数量和基顶点数。
• 环图 C_n 的 r-独立性复形同伦等价于 (r−1) 维球面的楔和，球面数量作为 n 和 r 的函数被显式计算。
• 对于高度为 h 的完美 m-叉树，r-独立性复形要么是可缩的，要么同伦等价于 (r−1) 维球面的楔和，球面数量由子树的递归计数确定。
• 路径图的 r-独立性复形被证明同伦等价于 (r−1) 维球面的楔和，球面数量由闭式表达式给出。
• 来自网格图 G_{2,n} 的计算证据表明，Ind_r(G_{2,n}) 可能在多个维度上具有非平凡同调，暗示对于更大网格，其同伦类型可能超出球面楔和的范畴。