[论文解读] Higher Newton polygons in the computation of discriminants and prime ideal decomposition in number fields

Jordi Guàrdia, Jesús Sanz Montes+1 more|ArXiv.org|Jul 25, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文提出了一种高效算法，利用高阶牛顿多边形计算数域中的判别式和素理想分解。通过利用p进数技术并优化计算顺序，该方法在数域次数高达1000时，可在数秒内计算出p进估值和p在数域中的分解，即使对于高指标的多项式也表现出显著优于经典积分基方法的性能。

ABSTRACT

We present an algorithm for computing discriminants and prime ideal decomposition in number fields. The algorithm is a refinement of a p-adic factorization method based on Newton polygons of higher order. The running-time and memory requirements of the algorithm appear to be very good: for a given prime number p, it computes the p-valuation of the discriminant and the factorization of p in a number field of degree 1000 in a few seconds, in a personal computer.

研究动机与目标

• 开发一种快速、直接的算法，用于计算数域中的判别式和素理想分解，而无需计算全局积分基。
• 解决代数数论中的计算瓶颈问题，即传统积分基计算方法在数域次数增加时扩展性差。
• 通过使用高阶牛顿多边形避免域扩张，仅在剩余域上工作，从而提高p进数因子分解的效率。
• 证明该算法可扩展至高次数数域（例如，6912次）和大指标（例如，7700万），性能优于现有方法。

提出的方法

• 该算法使用高阶牛顿多边形分析数域 K=Q(θ) 的定义多项式 f(x) 的 p进数因子分解。
• 通过分析牛顿多边形各阶的类型和代表元，计算判别式的p进估值和 OK 中 p 的分解类型。
• 引入一种优化过程，降低计算阶数，显著减少复杂度并提升性能（定理3.1）。
• 计算多项式 f(x) 的 p-指标，该值与 disc(f) 结合后对确定判别式至关重要。
• 通过扩展欧几里得计算，将算法扩展以生成 p 上方的素理想生成元。
• 该算法高度可并行化，可高效扩展至极高次的数域。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶牛顿多边形能否比经典积分基方法更高效地计算数域中的判别式和素理想分解？
• RQ2 牛顿多边形计算阶数的优化如何影响算法的复杂度和运行时间？
• RQ3 在标准硬件上，该算法在实际计算中对数域次数和 p-指标的性能极限是什么？
• RQ4 该算法能否处理那些对简单因子分解方法‘隐藏’的高指标多项式？
• RQ5 该算法的效率在多大程度上随数域次数和素理想因子个数而扩展？

主要发现

• 即使对于 p-指标高达200,000的情况，该算法在1000次数域中计算判别式的p进估值和 p 的分解也少于1秒。
• 对于一个6912次多项式，其2-指标为77,673,504，该算法在个人计算机上用787秒计算出2的分解。
• 对于[FPR02]中的32个测试多项式，即使在加入高次 p^1000 项扰动后，该算法仍能在0.2秒内完成计算。
• 由于扩展欧几里得计算导致系数爆炸，生成素理想生成元的时间显著增加，其中一个示例耗尽了 Magma 的虚拟内存。
• 该算法高度可并行化，使其能够扩展至极高次的数域。
• 与经典积分基计算方法相比，该方法有显著改进，尤其在仅需判别式或因子分解时更为突出。