[论文解读] Higher Orbit Integrals, Cyclic Cocyles, and K-theory of Reduced Group C*-algebra

Yanli Song, Xiang Tang|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 11

一句话总结

本文将高阶轨道积分引入为连通实半单群 G 的哈里什-钱德拉施瓦茨代数上的高阶循环上循环，推广了经典轨道积分，统一了等秩与非等秩情形下的 K-理论配对。通过在温和对偶上使用傅里叶变换，作者推导出这些上循环与约化群 C*-代数的 K-理论之间配对的显式公式，揭示了 G-等变狄拉克算子的新不变量，并扩展了哈里什-钱德拉的普朗歇尔理论。

ABSTRACT

Let G be a connected real reductive group. Orbit integrals define traces on the group algebra of G. We introduce a construction of higher orbit integrals in the direction of higher cyclic cocycles on the Harish-Chandra Schwartz algebra of G. We analyze these higher orbit integrals via Fourier transform by expressing them as integrals on the tempered dual of G. We obtain explicit formulas for the pairing between the higher orbit integrals and the K-theory of the reduced group C*-algebra, and discuss their applications to representation theory and K-theory.

研究动机与目标

• 将经典轨道积分推广为连通实半单群 G 的哈里什-钱德拉施瓦茨代数上的高阶循环上循环。
• 利用伊wasawa 分解和函数 H(g) = (H₁(g), ..., Hₙ(g)) 映射 G 到极大交换子群 A 的李代数，构造显式的高阶轨道积分。
• 通过 G 的温和对偶上的傅里叶变换分析这些高阶积分，将其表示为对单位特征标和温和表示的积分。
• 计算高阶轨道积分与约化群 C*-代数 C*r(G) 的 K-理论之间的配对，特别是在等秩与非等秩情形下。
• 通过统一处理等秩与非等秩群，为 G-等变狄拉克算子提供新的数值不变量。

提出的方法

• 将高阶轨道积分 ΦP,x(f₀,…,fn) 定义为在 G×KN×M/ZM(x) 上的积分，涉及 H-函数（伊wasawa 分量）与卷积后的施瓦茨函数的乘积。
• 利用伊wasawa 分解 G = KMAN，将 H(g) 表示为 A 部分的对数分量，推广了在交换情形下 x 的作用。
• 应用傅里叶变换将卷积代数转换为点乘代数，将上循环转化为类似于 ∫ f₀ d f₁ 的对偶空间形式。
• 利用霍奇施尔德-科斯坦-罗森伯格定理及温和表示的性质，证明所得泛函满足循环上循环条件。
• 通过特征标与普朗歇尔测度，将高阶轨道积分与 K₀(C*r(G)) 之间的配对表示为对温和对偶的积分。
• 利用离散系列、极限离散系列及温和主系列表示，建立配对在正则与奇异情形下的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典轨道积分如何推广为半单群 G 的哈里什-钱德拉施瓦茨代数上的高阶度循环上循环？
• RQ2 伊wasawa 分解与 H-函数在构造高阶循环上循环中起什么作用？
• RQ3 温和对偶上的傅里叶变换如何将高阶轨道积分与温和表示的特征标联系起来？
• RQ4 高阶轨道积分与约化 C*-代数 C*r(G) 的 K-理论之间配对的显式公式是什么？
• RQ5 这些高阶积分如何解决 K-理论配对中等秩与非等秩群之间的二元对立？

主要发现

• 高阶轨道积分 ΦP,x 在哈里什-钱德拉施瓦茨代数 S(G) 上定义了良态的循环上循环，推广了经典轨道积分。
• 对于交换群 ℝ，一阶循环上循环 φ(f₀,f₁) = ∫ℝ x f₀(−x)f₁(x) dx 在傅里叶变换下对应于 ∫f̂₀ d f̂₁，展示了通用机制。
• 高阶轨道积分 ΦP,x 的傅里叶变换表示为对温和对偶的积分，涉及诱导表示的特征标与普朗歇尔测度。
• 在等秩情形下，Fᴴ 与 K₀(S(G)) 之间的配对诱导出到极大紧子群 K 的表示环的同构。
• 在非等秩情形下，经典轨道积分在 K-理论上消失，但高阶上循环提供了非平凡不变量。
• 轨道积分的显式公式（D.2）包含来自正则离散系列、奇异极限离散系列及更高阶温和表示的贡献，其系数涉及符号与特征标。