[论文解读] Higher-order Changhee numbers and polynomials

Dae San Kim, Taekyun Kim|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2013

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文通过 ℤₚ 上的多变量费米子 p 进积分，引入了高阶 Changhee 数与多项式，建立了其生成函数，并推导出显式公式。主要成果包括：利用第一类 Stirling 数，揭示了高阶 Changhee 多项式与高阶 Euler 多项式之间的联系；并发现了涉及二项式系数与特殊函数的新恒等式。

ABSTRACT

In this paper, we consider the higher-order Changhee numbers and polynomials which are derived from the fermionic p-adic integral on Zp and give some relations between higher-order Changhee polynomials and special polynomials.

研究动机与目标

• 通过 ℤₚ 上的多变量费米子 p 进积分，定义高阶 Changhee 数与多项式。
• 建立高阶 Changhee 数与多项式的生成函数。
• 探讨高阶 Changhee 多项式与特殊多项式（如 Euler 多项式与 Stirling 数）之间的关系。
• 推导涉及二项式系数、下降阶乘与 p 进积分的显式公式与恒等式。
• 通过生成函数的运算与积分表示，研究对称性与变换恒等式。

提出的方法

• 将第一类高阶 Changhee 数定义为 ℤₚ 上关于下降阶乘 (x₁+⋯+xₖ)ₙ 的 k 重费米子 p 进积分。
• 利用 (1+t)ˣ 的生成函数与 p 进积分性质，推导出生成函数 ∑ₙ₌₀^∞ Chₙ⁽ᵏ⁾ tⁿ/n! = (2/(2+t))ᵏ。
• 将 Chₙ⁽ᵏ⁾ 表示为多项式系数与标准 Changhee 数乘积的和：Chₙ⁽ᵏ⁾ = ∑_{l₁+⋯+lₖ=n} (n!/(l₁!⋯lₖ!)) Ch_{l₁}⋯Ch_{lₖ}。
• 通过第一类 Stirling 数，将高阶 Changhee 数与 k 阶 Euler 数联系起来：Chₙ⁽ᵏ⁾ = ∑_{l=0}ⁿ S₁(n,l) Eₗ⁽ᵏ⁾。
• 通过 (x₁+⋯+xₖ+x)ₙ 定义第一类高阶 Changhee 多项式，并推导出生成函数 (2/(2+t))ᵏ(1+t)ˣ。
• 通过在生成函数中代入 t → eᵗ−1，建立变换恒等式，借助第二类 Stirling 数将结果与 Euler 多项式关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 ℤₚ 上的多变量费米子 p 进积分定义高阶 Changhee 数？
• RQ2 高阶 Changhee 数与多项式的生成函数是什么？它与 (2/(2+t))ᵏ 的关系如何？
• RQ3 高阶 Changhee 数如何通过第一类 Stirling 数与 k 阶 Euler 数关联？
• RQ4 在高阶 Changhee 多项式的生成函数中代入 t → eᵗ−1 时，会导出哪些恒等式？
• RQ5 第二类 Changhee 多项式与在 x+k 处取值的 Euler 多项式之间有何关系？

主要发现

• 高阶 Changhee 数由 Chₙ⁽ᵏ⁾ = (−1/2)ⁿ ∑_{l=0}ⁿ S₁(n,l)(k+n−1)ˡ 给出，将其与 Stirling 数及下降阶乘联系起来。
• 高阶 Changhee 数的生成函数为 ∑ₙ₌₀^∞ Chₙ⁽ᵏ⁾ tⁿ/n! = (2/(2+t))ᵏ。
• Chₙ⁽ᵏ⁾ = ∑_{l=0}ⁿ S₁(n,l) Eₗ⁽ᵏ⁾，表明高阶 Changhee 数与 k 阶 Euler 数之间存在直接联系。
• k 阶 Euler 数满足 Eₘ⁽ᵏ⁾ = ∑_{n=0}ᵐ Chₙ⁽ᵏ⁾ S₂(m,n)，其中 S₂(m,n) 为第二类 Stirling 数。
• 第二类高阶 Changhee 多项式定义为 ̂Chₙ⁽ᵏ⁾(x) = ∑_{m=0}ⁿ m! ₙCₘ ₖCₘ Chₙ₋ₘ⁽ᵏ⁾，其生成函数为 (1+t)ᵏ(2/(2+t))ᵏ。
• 恒等式 ̂Chₙ⁽ᵏ⁾(x) = ∑_{m=0}ⁿ m! ₙCₘ ₖCₘ Chₙ₋ₘ⁽ᵏ⁾ 提供了第二类多项式的新组合表达式，而 ̂Chₙ⁽ᵏ⁾(x) = ∑_{m=1}ⁿ (binom(n−1,n−m)/m!) Chₘ⁽ᵏ⁾(−x) 揭示了对偶关系。