[论文解读] Higher-order derivative of intersection local time for two independent fractional Brownian motions

Jingjun Guo, Yaozhong Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文建立了两个独立的 $d$-维分数布朗运动（Hurst 参数分别为 $H_1$ 和 $H_2$）的交点局部时变的 $k$-阶导数存在性及指数可积性的精确充分必要条件。通过使用光滑化的狄拉克函数逼近和基于傅里叶分析与伽马函数界估计的矩估计，作者证明：当 $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$ 时，$k$-阶导数在所有 $p \in [1,\infty)$ 的 $L^p$ 空间中存在；且指数可积性成立，其指数为 $\beta = \frac{H_1+H_2}{2dH_1H_2}$。该条件在某些情况下被证明是导数存在的必要条件，特别是当 $k_i$ 为偶数时。

ABSTRACT

In this article, we obtain sharp conditions for the existence of the high order derivatives ($k$-th order) of intersection local time $ \widehatα^{(k)}(0)$ of two independent d-dimensional fractional Brownian motions $B^{H_1}_t$ and $\widetilde{B}^{H_2}_s$ with Hurst parameters $H_1$ and $H_2$, respectively. We also study their exponential integrability.

研究动机与目标

• 确定两个独立的 $d$-维分数布朗运动的交点局部时变 $k$-阶导数在所有 $p \in [1,\infty)$ 的 $L^p$ 空间中存在的确切条件。
• 建立交点局部时变 $k$-阶导数的指数可积性，并确定使得 $\mathbb{E}[\exp(C|\widehat{\alpha}^{(k)}(0)|^\beta)] < \infty$ 成立的最优指数 $\beta$。
• 证明条件 $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$ 不仅充分，而且在某些情况下（特别是当 $k_i$ 为偶数时）也是导数存在的必要条件。
• 将现有关于自交点局部时变及其导数的研究结果，推广至两个不同 Hurst 参数的独立分数布朗运动的情形。

提出的方法

• 通过光滑化逼近的狄拉克函数 $f_\varepsilon^{(k)}(x)$ 定义交点局部时变的 $k$-阶导数，其表达式为包含 $p^k e^{ipx} e^{-\varepsilon|p|^2/2}$ 的傅里叶积分。
• 通过证明逼近序列 $\widehat{\alpha}^{(k)}_\varepsilon(0)$ 沿 $\varepsilon \downarrow 0$ 的 $L^2$ 收敛性，建立 $\widehat{\alpha}^{(k)}(0)$ 在 $L^2$ 中的存在性。
• 利用差值 $B^{H_1}_t - \widetilde{B}^{H_2}_s$ 的特征函数，推导 $\mathbb{E}[|\widehat{\alpha}^{(k)}_\varepsilon(0)|^n]$ 的矩估计，得到涉及伽马函数和幂律衰减的界。
• 利用恒等式 $\mathbb{E}[e^{i\langle \xi, B^{H_1}_t - \widetilde{B}^{H_2}_s \rangle}] = \exp\left(-\frac{1}{2}(t^{2H_1} + s^{2H_2})|\xi|^2\right)$ 计算差值过程的特征函数。
• 在积分 $\int_0^T \int_0^T (t^{2H_1} + s^{2H_2})^{-(k+d)/2} dtds$ 中使用变量替换和极坐标变换，分析其收敛性，发现当且仅当 $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$ 时积分收敛。
• 通过使用斯特林公式估计矩生成函数，证明级数 $\sum_n C^n (n!)^{\beta(2-2\kappa_1)-1}$ 的收敛性，其中 $\beta = \frac{H_1+H_2}{2dH_1H_2}$，从而建立指数可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个独立的 $d$-维分数布朗运动的交点局部时变 $k$-阶导数在所有 $p \in [1,\infty)$ 的 $L^p$ 空间中存在的确切条件是什么？
• RQ2 使得指数矩 $\mathbb{E}[\exp(C|\widehat{\alpha}^{(k)}(0)|^\beta)]$ 有限的最优指数 $\beta$ 是什么？
• RQ3 当 $k_i$ 为偶数时，条件 $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$ 是否为 $\widehat{\alpha}^{(k)}(0)$ 存在的必要条件？
• RQ4 当 Hurst 参数 $H_1$ 和 $H_2$ 不同时，导数的存在性与可积性如何依赖于 $H_1$ 和 $H_2$？

主要发现

• 当且仅当 $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$ 时，交点局部时变的 $k$-阶导数 $\widehat{\alpha}^{(k)}(0)$ 在 $L^p(\Omega)$ 中对所有 $p \in [1,\infty)$ 存在，且在某些条件下该条件既是充分也是必要的。
• 指数可积性成立，其指数为 $\beta = \frac{H_1+H_2}{2dH_1H_2}$，即存在某个 $C_{d,k,T} > 0$ 使得 $\mathbb{E}[\exp(C_{d,k,T}|\widehat{\alpha}^{(k)}(0)|^\beta)] < \infty$，表明尾部衰减非常强。
• 当 $H_1 = H_2 = \frac{1}{2}$ 时，指数可积性指数退化为 $\beta = \frac{2}{d}$，与早期文献中的已知结果一致。
• 当 $k = 0$ 时，条件简化为 $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}d < 1$，该条件推广了当 $H_1 = H_2 = H$ 时已知的条件 $Hd < 2$（如 Nualart 等 [8] 所述）。
• 通过分析当条件不成立时积分 $\int_0^T \int_0^T (t^{2H_1} + s^{2H_2})^{-(k+d)/2} dtds$ 的发散性，证明了当 $k = (k_i, 0, \dots, 0)$ 且 $k_i$ 为偶数时，条件 $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$ 的必要性。
• 证明中使用极坐标和变量替换 $t = u^{H_2/H_1}$ 将积分转化为径向形式，表明收敛性关键取决于 $r$ 的指数大于 $-1$，从而导出条件 $\frac{H_2}{H_1} - (k+d)H_2 > -1$，等价于主条件。