[论文解读] Higher order elicitability and Osband's principle

Tobias Fissler, Johanna F. Ziegel|RePEc: Research Papers in Economics|Mar 27, 2015

Risk and Portfolio Optimization被引用 9

一句话总结

本文证明了高阶泛函（包括具有有限支撑谱测度的谱风险度量）在与适当的分位数结合时是联合可预测的。一个关键结果是，在较弱的正则性条件下，(风险价值, 预期短缺)对是联合可预测的，从而解决了风险管理领域长期存在的开放问题，并将一致评分函数的适用范围从单变量泛函扩展至多变量情形。

ABSTRACT

A statistical functional, such as the mean or the median, is called elicitable if there is a scoring function or loss function such that the correct forecast of the functional is the unique minimizer of the expected score. Such scoring functions are called strictly consistent for the functional. The elicitability of a functional opens the possibility to compare competing forecasts and to rank them in terms of their realized scores. In this paper, we explore the notion of elicitability for multi-dimensional functionals and give both necessary and sufficient conditions for strictly consistent scoring functions. We cover the case of functionals with elicitable components, but we also show that one-dimensional functionals that are not elicitable can be a component of a higher order elicitable functional. In the case of the variance this is a known result. However, an important result of this paper is that spectral risk measures with a spectral measure with finite support are jointly elicitable if one adds the `correct' quantiles. A direct consequence of applied interest is that the pair (Value at Risk, Expected Shortfall) is jointly elicitable under mild conditions that are usually fulfilled in risk management applications.

研究动机与目标

• 解决一个长期开放的问题：即包含不可预测分量的泛函是否可以联合可预测。
• 将奥斯班德原理扩展至多维泛函，并刻画严格一致评分函数的特征。
• 建立具有有限支撑谱测度的谱风险度量在何种条件下可与其它泛函联合可预测。
• 证明在较弱正则性假设下，(风险价值, 预期短缺)对是联合可预测的。
• 提供一个超越传统一维泛函的高阶可预测性的一般框架。

提出的方法

• 开发了一套基于向量值泛函的严格一致评分函数的高阶可预测性通用框架。
• 通过矩与高阶泛函之间的双射关系应用揭示原理，以构建联合可预测性。
• 利用可识别性概念与适当评分函数的凸性，推导出可预测性的必要与充分条件。
• 运用泛函分析与测度论论证，分析评分函数在预测向量扰动下的行为。
• 应用引理2.9与命题2.13，证明所构造评分函数的严格凸性与严格一致性。
• 通过分解谱测度并利用分位数已知的可预测性，显式构造了谱风险度量的评分函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个在孤立情况下不可预测的泛函，是否可能成为联合可预测向量值泛函的一部分？
• RQ2 在何种条件下，(风险价值, 预期短缺)对是联合可预测的？
• RQ3 是否可以将奥斯班德原理推广至包含不可预测分量的多维泛函？
• RQ4 具有有限支撑谱测度的高阶泛函的严格一致评分函数具有何种特征？
• RQ5 在较弱正则性条件下，谱风险度量能否与分位数联合可预测？

主要发现

• (风险价值, 预期短缺)对在较弱正则性条件下是联合可预测的，为其在风险管理中的应用提供了正式基础。
• 当与适当的分位数结合时，具有有限支撑谱测度的谱风险度量是联合可预测的。
• 若泛函(T1, ..., Tk)包含分位数与具有有限支撑的谱风险度量，则其为k重可预测的，该结论通过揭示原理得以证明。
• 本文证明了方差本身不可预测，但当与均值配对时，可成为可预测向量泛函的一部分，从而推广了已知结果。
• 存在一个严格一致的评分函数用于(VaR, ES)对，且可显式构造，该评分函数有下界，且相关函数严格递增。
• 本文为k维泛函提供了严格一致评分函数的一般表征，将可预测性理论从单变量情形推广至多变量情形。