[论文解读] Higher-order finite elements on pyramids

Nilima Nigam, Joel Phillips|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2006

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在金字塔形网格单元上构建高阶有限元的方法，该方法满足有限元外微分学中的交换图性质，这是相容有限元方法的关键。通过利用金字塔的几何分解，并采用包含边、面和体积自由度的层级基，该方法确保了混合有限元公式中最佳逼近性和相容性。

ABSTRACT

Abstract. We present a construction of high order finite elements on a pyramid, with the goal of building approximation subspaces which satisfy the commuting diagram property. 1.

研究动机与目标

• 开发在金字塔形单元上保持有限元外微分学中交换图性质的高阶有限元。
• 解决在金字塔形单元上构建符合要求的有限元空间的挑战，这些单元常用于四面体/六面体混合网格中。
• 确保最佳逼近性质以及与混合公式的相容性，特别是针对涉及 H(curl) 和 H(div) 空间的各类问题。
• 提供一种系统化的自由度构造方法，使其在仿射变换下保持不变，并支持任意多项式阶次。

提出的方法

• 该方法利用金字塔被划分为顶点、边、面和体素部分的几何分解来定义自由度。
• 通过在参考金字塔上使用正交多项式构建层级基，确保最佳逼近效果和良好的条件数。
• 自由度的定义旨在强制保证元素界面间切向分量和法向分量的连续性，这对于 H(curl) 和 H(div) 的符合性至关重要。
• 该构造确保有限元空间与外微分算子交换，从而满足交换图性质。
• 通过理论分析和数值实例验证了该方法，结果表明其具有最优的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在金字塔形单元上构建高阶有限元，以在有限元外微分学中保持交换图性质？
• RQ2 应如何选择自由度，以确保在金字塔形单元上实现最佳逼近效果并兼容混合有限元方法？
• RQ3 如何定义自由度，使其在仿射变换下保持不变并支持任意多项式阶次？
• RQ4 金字塔形单元上的有限元空间具有何种结构，才能确保在 H(curl) 和 H(div) 空间中的符合性？

主要发现

• 所提出的金字塔形有限元空间满足交换图性质，确保了在混合有限元公式中的相容性。
• 自由度的构造旨在强制保证元素界面间切向和法向分量的连续性，从而实现 H(curl) 和 H(div) 空间中的符合逼近。
• 数值实验结果表明该方法实现了最优收敛速率，验证了理论上的逼近性质。
• 基于金字塔上正交多项式的层级基确保了良好的条件数和高效的组装过程。