[论文解读] Higher order generalized geometric polynomials

Levent Kargın, Bayram Çekım|DergiPark (Istanbul University)|Dec 23, 2016

Advanced Mathematical Identities被引用 9

一句话总结

本文通过广义梅林导数算子引入高阶广义几何多项式，建立了与退化伯努利多项式和欧拉多项式之间的联系。推导出卡里茨与霍华德有限和的新封闭形式表达式，并计算了涉及黎曼ζ函数的幂级数，包括恒等式 $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta(k)k^n}{2^k} = \log 2 + \sum_{k=1}^{n}\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n+1}{k+1}k!(1-2^{-k-1})\zeta(k+1)$。

ABSTRACT

According to generalized Mellin derivative (Kargin), we introduce a new family of polynomials called higher order generalized geometric polynomials. We obtain some properties of them.We discuss their connections to degenerate Bernoulli and Euler polynomials. Furthermore, we find new formulas for the Carlitz's (Carlitz) and Howard's (Howard2) finite sums. Finally, we evaluate several series in closed forms, one of which has the coefficients include values of the Riemann zeta function. Moreover, we calculate some integrals in terms of generalized geometric polynomials.

研究动机与目标

• 通过广义梅林导数算子定义并研究一类新的多项式，即高阶广义几何多项式。
• 建立这些多项式与退化伯努利多项式和欧拉多项式之间的联系。
• 为卡里茨与霍华德的有限和推导出新的封闭形式表达式。
• 以封闭形式计算涉及黎曼ζ函数的幂级数。
• 提供多项式的积分表示，并利用梅林变换技术计算相关积分。

提出的方法

• 本文采用广义梅林导数算子 $\left(\beta x^{1-\alpha/\beta}D\right)^n$ 来定义高阶广义几何多项式 $w_n^{(s+1)}(x;\alpha,\beta,r)$。
• 通过生成函数以及广义斯特林数 $S_1(n,k;\alpha,\beta,r)$ 和 $S_2(n,k;\alpha,\beta,r)$ 推导出多项式的递推关系和生成函数。
• 该方法涉及对指数型生成函数（如 $x^{r/\beta}e^{xt}$）应用广义梅林导数，以推导多项式恒等式。
• 通过梅林-巴恩斯积分和伽马函数推导出积分表示，特别是通过逆梅林变换。
• 该方法利用了Hurwitz和Riemann ζ函数的已知积分表示，特别是在 $\alpha \to 0$ 的极限情形下。
• 将广义导数应用于有理函数和指数生成函数，以封闭形式计算级数与积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义梅林导数如何用于定义一类与特殊函数相关的新型多项式？
• RQ2 其系数涉及黎曼ζ函数的幂级数的封闭形式表达式是什么？
• RQ3 能否利用新多项式族推导出卡里茨与霍华德有限和的新公式？
• RQ4 高阶广义几何多项式与退化伯努利和欧拉多项式之间有何关系？
• RQ5 能否利用梅林变换技术为这些多项式建立积分表示？

主要发现

• 本文推导出级数 $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta(k)k^n}{2^k} = \log 2 + \sum_{k=1}^{n}\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n+1}{k+1}k!(1-2^{-k-1})\zeta(k+1)$ 的封闭形式表达式，对所有整数 $n \geq 0$ 成立。
• 通过梅林-巴恩斯积分，建立了广义几何多项式的新型积分表示：$\frac{1}{(1+x)^{s+1}}w_n^{(s+1)}\left(\frac{-x}{1+x};\alpha,\beta,r\right) = \frac{1}{2\pi i\Gamma(s+1)}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty} (r - \beta t|\alpha)_n x^{-t} \Gamma(t) \Gamma(s+1-t) dt$。
• 在极限 $\alpha \to 0$ 情形下，广义几何多项式退化为 $w_n(x;0,\beta,r) = \sum_{k=0}^n W_{\beta,r}(n,k) \beta^k k! x^k$，从而与 $r$-惠特尼数建立联系。
• 本文证明了 $\frac{e^{-rx}}{1-e^{-\beta x}}w_n\left(\frac{e^{-\beta x}}{1-e^{-\beta x}};0,\beta,r\right) = \frac{\beta^n}{2\pi i}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty} (\beta x)^{-t} \zeta(t-n, \frac{r}{\beta}) \Gamma(t) dt$，推广了已知的逆梅林变换。
• 该方法成功计算了涉及伽马函数和ζ函数的积分，扩展了先前工作（如 [7, 命题16]）的结果。
• 通过广义多项式框架，正式建立了与退化伯努利和欧拉多项式之间的联系，并推导出新的显式公式。