[论文解读] Higher-order Lie bracket approximation and averaging of control-affine systems with application to extremum seeking

Sameer Pokhrel, Sameh A. Eisa|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2023

Extremum Seeking Control Systems被引用 4

一句话总结

该论文利用时序微积分，严格建立了控制仿射系统中高阶李括号逼近与高阶平均化之间的联系，证明了n阶李括号逼近对应于(n+1)阶平均化项。该框架消除了先前工作中未经证实的假设，并通过揭示更高阶动态，实现了极小化搜索中更快的收敛速度。

ABSTRACT

This paper provides a rigorous derivation for what is known in the literature as the Lie bracket approximation of control-affine systems in a more general and sequential framework for higher-orders. In fact, by using chronological calculus, we show that said Lie bracket approximations can be derived, and considered, as higher-order averaging terms. Hence, the theory provided in this paper unifies both averaging and approximation theories of control-affine systems. In particular, the Lie bracket approximation of order ($n$) turns out to be a higher-order averaging of order ($n+1$). The derivation and formulation provided in this paper can be directly reduced to the first and second-order Lie bracket approximations available in the literature. However, we do not need to make many of the unproven assumptions provided in the literature and show that they are in fact natural corollaries from our work. Moreover, we use our results to show that important and useful information about control-affine extremum seeking systems can be obtained and used for significant performance improvement, including a faster convergence rate influenced by higher-order derivatives. We provide multiple numerical simulations to demonstrate both the conceptual elements of this work as well as the significance of our results on extremum seeking with comparison against the literature.

研究动机与目标

• 利用时序微积分，严格推导控制仿射系统中的李括号逼近。
• 通过证明李括号逼近是高阶平均化项，弥合控制仿射系统中平均化理论与逼近理论之间的鸿沟。
• 通过从所提出的框架中自然推导出这些假设，消除先前文献中未经证实的假设。
• 将结果应用于极小化搜索系统，通过利用更高阶动态实现更快的收敛速度和性能优化。
• 通过与现有文献对比的数值仿真，验证理论发现。

提出的方法

• 利用时序微积分，从时变控制仿射系统中系统地推导高阶李括号逼近。
• 推导出n阶李括号逼近等价于(n+1)阶平均化项，建立正式的层级结构。
• 通过将动态表示为迭代李括号和时间平均系数，将该框架应用于控制仿射极小化搜索系统。
• 通过周期内的递归括号运算和积分，计算高阶平均化项（最高至四阶），得出平均向量场的显式表达式。
• 通过引入涉及ω^(p*-1)的缩放因子，将结果从快时间尺度转换到慢时间尺度，实现实际应用。
• 推导出四阶平均化系统的显式公式，包括涉及三角函数乘积积分和控制输入调制的系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在控制仿射系统中，正式地将李括号逼近与高阶平均化理论联系起来？
• RQ2 李括号逼近作为高阶平均化项出现的精确数学条件是什么？
• RQ3 先前文献中关于李括号逼近的未经证实假设，能否作为更一般框架下的自然推论被推导出来？
• RQ4 高阶平均化项如何提升极小化控制系统的收敛速度？
• RQ5 从迭代李括号和控制输入调制的角度，四阶平均化系统的结构是怎样的？

主要发现

• 严格证明了在控制仿射系统中，n阶李括号逼近等价于(n+1)阶平均化项。
• 该框架通过时序微积分的自然推导，消除了先前工作中人为假设的影响。
• 显式推导出四阶平均化系统，其项包含双重和三重李括号，且系数依赖于ω^(p_i + p_j + p_k + p_l - 3)。
• 所推导的四阶平均化项包括来自[ [b_i, b_j], [b_k, b_l] ]、[ [[b_i, b_j], b_k], b_l ] 和 [ b_l, [[b_i, b_j], b_k] ] 的贡献，且具有时间平均系数。
• 通过揭示可被控制器设计利用的更高阶动态，该结果实现了极小化搜索中更快的收敛速度。
• 数值仿真表明高阶项具有显著影响，并验证了其在性能上优于经典的一阶和二阶逼近。