[论文解读] Higher Order Methods for Differential Inclusions

Sanja Gonzalez Zivanovic, Pieter Collins|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Numerical methods for differential equations被引用 5

一句话总结

本文提出了一种更高阶的数值方法，用于通过Fliess型展开和基于对数范数的误差估计，计算微分包含中可达集的严格上界逼近。该方法在局部误差界方面优于一阶方法，实现了更精确的长时间积分，同时保持了对具有不确定或噪声输入系统的分量独立和一致的误差控制。

ABSTRACT

We present a numerical method for rigorous over-approximation of a reachable set of differential inclusions. The method gives high-order error bounds for single step approximations and a uniform bound on the error over the finite time interval. We provide formulas for the local error based on Lipschitz constants and bounds on higher-order derivatives. The method is based on a Fliess-like expansion, and extends previous results by providing error estimates which are valid for all possible inputs.

研究动机与目标

• 开发一种更高阶的数值方法，用于计算微分包含中可达集的严格上界逼近。
• 通过提供对所有可能输入均有效的统一高阶误差界，扩展一阶方法，适用于控制和噪声系统。
• 改进具有紧致凸值右端项的微分包含的长时间积分中的精度和效率。
• 实现对具有不确定性、不连续动力学或模型降阶误差的系统的可靠验证。
• 研究在可达集计算中，局部误差精度与计算效率之间的权衡。

提出的方法

• 使用类似Fliess的幂级数展开来建模解在时间步长内的演化。
• 应用对数范数，推导出比Lipschitz常数更紧致的分量独立误差界，从而能够区分稳定与不稳定动力学。
• 通过有界高阶导数和统一输入界，计算二阶和三阶局部误差估计。
• 通过在每个时间区间上结合近似解与统一误差界，构建可达集的上界逼近。
• 采用单步积分格式并结合自适应时间步长，避免基于网格的方法，以提高效率。
• 使用函数演算和自动误差传播，计算状态空间中可达集的包围域。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有效将更高阶误差估计应用于具有多值动力学的微分包含？
• RQ2 基于对数范数的误差界与基于Lipschitz的误差界在紧致性和适用性方面有何比较？
• RQ3 在高阶可达集计算中，局部误差精度与计算成本之间的权衡如何？
• RQ4 该方法能否为具有噪声输入或模型降阶误差的系统提供可靠的上界逼近？
• RQ5 该方法在具有不确定参数的复杂系统（如Rossler方程）上的表现如何？

主要发现

• 对于受扰动的谐振子，三阶误差估计在 h=0.01 时得到的可达集半径为 0.00100759，与文献[17]使用2-范数对数范数得到的 0.00100502 结果相近。
• 在 h=0.25 时，该方法的二阶估计给出半径 0.0420586，略差于[17]的 0.0284025，但随着 h 减小，结果显著改善。
• 对于参数 a=5.7 且噪声 v_i ∈ [-10⁻⁴, 10⁻⁴] 的Rossler方程，该方法在 T=11.1 且 h=0.005 时计算出 R(X₀,T) ≈ {0}×[-0.15572, 0.15391]×[-3.75926, -3.41772]×[0.03139, 0.03398]。
• 分析误差界为 e = 8.586×10⁻⁸，表明包围域具有极高精度。
• 尽管采用自动误差估计而非人工计算的界，该方法的结果质量与[17]相当。
• 该方法表明，对于具有不确定输入的复杂混沌系统，更高阶误差估计是可行且有效的，同时保持了严格的上界逼近。