[论文解读] Higher-Order Model Checking Step by Step

Paweł Parys|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Formal Methods in Verification参考文献 17被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新颖的、分步进行的高阶模型检测算法，通过逐次将递归方案的阶数降低一阶，将阶数为n的方案转化为阶数为(n−1)的方案，同时保持接受性并仅使大小呈指数级增长。经过n步后，问题简化为求解一个有限的公平性游戏，从而实现最优的n-EXPTIME复杂度，并在参数的arity和自动机规模有界时获得FPT算法。

ABSTRACT

We show a new simple algorithm that solves the model-checking problem for recursion schemes: check whether the tree generated by a given higher-order recursion scheme is accepted by a given alternating parity automaton. The algorithm amounts to a procedure that transforms a recursion scheme of order $n$ to a recursion scheme of order $n-1$, preserving acceptance, and increasing the size only exponentially. After repeating the procedure $n$ times, we obtain a recursion scheme of order $0$, for which the problem boils down to solving a finite parity game. Since the size grows exponentially at each step, the overall complexity is $n$-EXPTIME, which is known to be optimal. More precisely, the transformation is linear in the size of the recursion scheme, assuming that the arity of employed nonterminals and the size of the automaton are bounded by a constant; this results in an FPT algorithm for the model-checking problem. Our transformation is a generalization of a previous transformation of the author (2020), working for reachability automata in place of parity automata. The step-by-step approach can be opposed to previous algorithms solving the considered problem "in one step", being compulsorily more complicated.

研究动机与目标

• 为高阶递归方案与交替公平性自动机之间的模型检测提供一种简单、分步的算法。
• 通过逐步降低递归方案的阶数，实现最优的n-EXPTIME复杂度。
• 将先前针对可达性自动机的变换推广至完整的公平性自动机类。
• 为先前“一步到位”算法提供一种更透明、技术性更低的替代方案，后者本质上更为复杂。
• 为潜在的扩展奠定基础，例如解决同时无界性问题。

提出的方法

• 该算法执行递归阶数降低：将阶数为n的递归方案转换为阶数为(n−1)的方案，同时保持接受性。
• 当类型arity和自动机规模被常数有界时，每一步变换在递归方案大小上呈线性关系。
• 该变换基于有限公平性游戏的博弈论构造，模拟原始方案在低阶设置下的行为。
• 该方法依赖于一种新颖的不变量，涉及优先级序列和收缩关系（⪯和⪰），以确保在降低过程中的正确性。
• 该构造在原始方案与变换后方案之间保持策略模拟关系，确保获胜策略在各轮降低中得以保留。
• 该过程重复n次，将方案降低至阶数0，此时接受性简化为求解一个有限公平性游戏。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶递归方案的模型检测问题是否可以通过一种简单、逐步降低方案阶数的方法来解决？
• RQ2 是否可以将先前针对可达性自动机的变换推广至更具表达力的公平性自动机类？
• RQ3 分步降低方法是否相比整体的一步式方法，能产生更简单、更透明的算法？
• RQ4 所得到的算法是否能在保持FPT于arity和自动机规模的同时，实现最优的n-EXPTIME复杂度？
• RQ5 该变换框架是否可扩展至解决其他问题，如递归方案的同时无界性问题？

主要发现

• 所提出的算法在高阶递归方案与交替公平性自动机之间的模型检测中实现了最优的n-EXPTIME复杂度。
• 当类型arity和自动机规模被常数有界时，从阶数n到n−1的变换在递归方案大小上呈线性关系，从而得到FPT算法。
• 变换的正确性通过基于博弈的不变量得到证明，该不变量涉及优先级序列和⪯/⪰-收缩关系。
• 该方法将先前针对可达性自动机的结果推广至完整的公平性自动机类，扩展了其适用范围。
• 该算法在理论上具有重要意义，但由于每步降低过程中大小呈指数级增长，可能在实际应用中不切实际。
• 该框架显示出未来扩展至其他问题的潜力，例如递归方案的同时无界性问题。