[论文解读] Higher order tangents and Higher order Laplacians on Sierpinski Gasket Type Fractals

Shiping Cao, Hua Qiu|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文在具有 D3 或 D4 对称性的 p.c.f. 分形（如 Sierpinski gasket）上建立了高阶切线与拉普拉斯算子的理论。证明了高阶弱切线是与函数在顶点附近一致的局部多调和函数的一致极限，且高阶拉普拉斯算子可表示为图拉普拉斯算子的重归一化一致极限——使用类似于泰勒多项式的局部单项式。

ABSTRACT

We study higher order tangents and higher order Laplacians on p.c.f. self-similar sets with fully symmetric structures, such as $D3$ or $D4$ symmetric fractals. Firstly, let $x$ be a vertex point in the graphs that approximate the fractal, we prove that for any $f$ defined near $x$, the higher oder weak tangent of $f$ at $x$, if exists, is the uniform limit of local multiharmonic functions that agree with $f$ in some sense near $x$. Secondly, we prove that the higher order Laplacian on a fractal can be expressible as a renormalized uniform limit of higher order graph Laplacians on the graphs that approximate the fractal. The main technical tool is the theory of local multiharmonic functions and local monomials analogous to $(x-x_0)^j/j!$. The results in this paper are closely related to the theory of local Taylor approximations, splines and entire analytic functions. Some of our results can be extended to general p.c.f. fractals. In Appendix of the paper, we provide a recursion algorithm for the exact calculations of the boundary values of the monomials for $D3$ or $D4$ symmetric fractals, which is shorter and more direct than the previous work on the Sierpinski gasket.

研究动机与目标

• 解决分形上高阶导数与拉普拉斯算子的开放问题，特别是顶点处的行为。
• 建立局部多调和函数与单项式理论，作为分形上泰勒多项式的类比。
• 将高阶切线表示为在顶点附近与函数一致的多调和函数的一致极限。
• 证明高阶拉普拉斯算子可表示为逼近图上图拉普拉斯算子的重归一化极限。
• 将结果推广至一般具有全对称性的 p.c.f. 分形，包括 D4 对称情形（如四面体 Sierpinski gasket）

提出的方法

• 引入局部单项式作为顶点附近局部多调和函数的基，类比经典分析中的 $ (x - x_0)^j / j! $。
• 利用局部多调和函数理论，构造在顶点附近与 $ f $ 一致的函数的一致极限，作为高阶弱切线。
• 在逼近图 $ G_m $ 上定义高阶图拉普拉斯算子，并证明其重归一化极限一致收敛于分形拉普拉斯算子。
• 应用附录中的递推算法，高效计算 D3 和 D4 对称分形上单项式的边界值，优于先前方法。
• 利用 D3 和 D4 分形的全对称性，简化调和结构与特征值问题的分析。
• 通过适配对称性技术，将结果推广至一般 p.c.f. 分形。

实验结果

研究问题

• RQ1 分形上某顶点处的高阶切线能否表示为在顶点附近与函数 $ f $ 一致的局部多调和函数的一致极限？
• RQ2 第 $ n $ 阶分形拉普拉斯算子 $ \Delta_\mu^n f $ 能否表示为涉及 $ f $ 在趋近于该点的顶点处取值的线性组合的逐点公式的一致极限？
• RQ3 如何高效计算 Sierpinski gasket 或四面体 gasket 等对称分形上局部单项式的边界值？
• RQ4 D3 对称分形上的结果在多大程度上可推广至其他 p.c.f. 分形？
• RQ5 单项式展开中的系数 $ \alpha_j $、$ \beta_j $ 的渐近行为如何？它们与拉普拉斯算子特征值有何关联？

主要发现

• 在顶点处的高阶弱切线是一致极限，由在邻域内与 $ f $ 一致的局部多调和函数构成，确认了问题 1 的肯定答案。
• 高阶拉普拉斯算子 $ \Delta_\mu^n f $ 可表示为逼近图 $ G_m $ 上高阶图拉普拉斯算子的重归一化一致极限，肯定回答了问题 2。
• 对于 Sierpinski gasket $ \mathcal{SG} $，单项式基的系数 $ \alpha_j $、$ \beta_j $ 以超指数速度衰减，$ j=10 $ 时 $ \alpha_j \sim 10^{-23} $，表明收敛迅速。
• 附录中的递推算法比先前方法更高效地计算单项式边界值，对 $ \mathcal{SG} $，收敛速率在 $ j=15 $ 时趋于稳定。
• 比值 $ \alpha_{j-1}/\alpha_j $ 与 $ \beta_{j-1}/\beta_j $ 分别收敛至 $ \mathcal{SG} $ 的约 $ -124.68 $，$ \mathcal{HG} $ 的约 $ -46.73 $，$ \mathcal{SG}^4 $ 的约 $ -338.81 $，表明单项式结构具有自相似缩放特性。
• 结果可推广至 D4 对称分形（如四面体 Sierpinski gasket 与 Vicsek 集），其具有类似构造的单项式与拉普拉斯算子。