[论文解读] Higher Order Topological Phases: A General Principle of Construction

Dumitru Călugăru, Vladimir Juričić+1 more|MPG.PuRe (Max Planck Society)|Aug 27, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用 8

一句话总结

该论文提出了一种通用原则，通过利用相互反对易的厄米矩阵和离散对称性破缺的威耳逊质量项，在任意维度和对称性类中构建高阶拓扑（HOT）物相。当存在 p−1 个额外的反对易矩阵时，可实现最高至 n 阶的 HOT 物相，该理论在节点环和狄拉克半金属中得到了具体实现，包括一种无表面零能模的新型四阶物相。

ABSTRACT

We propose a general principle for constructing higher-order topological (HOT) phases. We argue that if a $D$-dimensional first-order or regular topological phase involves $m$ Hermitian matrices that anti-commute with additional $p-1$ mutually anti-commuting matrices, it is conceivable to realize an $n$th-order HOT phase, where $n=1, \cdots, p$, with appropriate combinations of discrete symmetry-breaking Wilsonian masses. An $n$th-order HOT phase accommodates zero modes on a surface with codimension $n$. We exemplify these scenarios for prototypical three-dimensional gapless systems, such as a nodal-loop semimetal possessing SU(2) spin-rotational symmetry, and Dirac semimetals, transforming under (pseudo-)spin-$\frac{1}{2}$ or 1 representations. The former system permits an unprecedented realization of a fourth-order phase, without any surface zero modes. Our construction can be generalized to HOT insulators and superconductors in any dimension and symmetry class.

研究动机与目标

• 建立一个通用框架，用于在所有维度和对称性类中系统构造高阶拓扑（HOT）物相。
• 确定从一阶拓扑系统中涌现出高阶拓扑物相的最小条件。
• 在典型的三维无能隙系统（如节点环和狄拉克半金属）中，展示高阶拓扑物相的出现。
• 表明高阶拓扑模式是通过对称性破缺的威耳逊质量项诱导的表面态逐级维度降低而产生的。
• 将该构造方法扩展至 HOT 绝缘体、超导体和半金属，包括在无表面模的节点环半金属中实现四阶物相。

提出的方法

• 该构造方法基于在 D 维系统中识别 m 个厄米矩阵，以描述一阶拓扑物相。
• 该方法引入 p−1 个额外的相互反对易矩阵，这些矩阵与前述 m 个矩阵反对易，代表潜在的拓扑质量项。
• 通过将离散对称性破缺的威耳逊质量项表示为这 p−1 个矩阵的组合，诱导拓扑表面模式的维度降低。
• 该方法使用有效单体哈密顿量，如 $ \hat{h}^{\rm NL}_{\rm WSDW} = N^{2}_{1}(\mathbf{k}) \left[ \sum^{3}_{j=1} \Delta_{j} \sigma_{j} \otimes N'_{j}(\mathbf{k}) \right] $，来模拟自旋密度波序。
• 利用 $ D_{4h} $ 点群对 WSDW 序的对称性分类，以确定其对表面态的拓扑效应。
• 通过密度态的标度行为 $ g(E) \sim |E| $ 确认体相节点环的稳定性，确保其在所有 WSDW 序下均受保护。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否提出一个通用原则，以系统性地在任意维度和对称性类中构造高阶拓扑物相？
• RQ2 相互反对易矩阵在实现从一阶到 n 阶拓扑物相的层级结构中起什么作用？
• RQ3 具有特定点群对称性的威耳逊质量项如何在无能隙系统中诱导表面模式的维度降低？
• RQ4 能否在无表面零能模的节点环半金属中实现四阶拓扑物相？
• RQ5 在狄拉克和节点环半金属等无能隙系统中，高阶模式的拓扑保护机制是什么？

主要发现

• 在无表面零能模的节点环半金属中实现了四阶拓扑物相，通过依次施加三种不同的 WSDW 有序实现。
• $ \mathrm{B_{1u}} $ WSDW 有序将二维鼓头表面态降低为沿 $ k_x=0 $ 和 $ k_y=0 $ 的一维弧态，实现二阶 NLSM。
• $ \mathrm{A_{2u}} $ WSDW 有序进一步将弧态降低为在边缘处分离的四个零维点态，实现三阶 NLSM。
• $ \mathrm{B_{2u}} $ WSDW 有序完全打开表面模式，导致四阶 NLSM，其无扩展表面或棱边态。
• 在整个高阶相变过程中，体相节点环始终保持保护，这由态密度的 $ g(E) \sim |E| $ 标度关系所证实。
• 该构造方法可推广至所有 Altland-Zirnbauer 类和维度下的 HOT 绝缘体、超导体和半金属。