[论文解读] Higher order Trace Finite Element Methods for the Surface Stokes Equation

Thomas Jankuhn, Arnold Reusken|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 32被引用 9

一句话总结

本文提出了一种针对曲面 Stokes 方程的高阶迹有限元方法，采用参数化迹有限元与 Taylor-Hood $\mathbf{P}_k$--$P_{k-1}$ 单元空间，并结合罚方法以强制切向速度约束。该方法在 $k=2$ 和 $k=3$ 时于 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下均实现了 $h^{k}$ 的最优收敛率，其中一致格式需近似 Weingarten 映射，而不一致变体则在计算上更为简便。

ABSTRACT

In this paper a class of higher order finite element methods for the discretization of surface Stokes equations is studied. These methods are based on an unfitted finite element approach in which standard Taylor-Hood spaces on an underlying bulk mesh are used. For treating the constraint that the velocity must be tangential to the surface a penalty method is applied. Higher order geometry approximation is obtained by using a parametric trace finite element technique, known from the literature on trace finite element methods for scalar surface partial differential equations. Based on theoretical analyses for related problems, specific choices for the parameters in the method are proposed. Results of a systematic numerical study are included in which different variants are compared and convergence properties are illustrated.

研究动机与目标

• 解决在曲面上以高阶精度求解曲面 Stokes 方程的挑战。
• 开发一种稳健的非拟合有限元方法，避免随曲面演化而重新生成曲面网格。
• 在存在几何逼近误差与切向速度约束的情况下，确保最优收敛率。
• 提出罚参数与稳定化参数的选取策略，以在迹 FEM 中实现精度与稳定性的平衡。
• 在高阶设置下，对比一致与不一致罚方法在强制切向流动时的性能。

提出的方法

• 基于标准 Taylor-Hood 有限元空间的非拟合体网格迹有限元方法。
• 采用罚公式强制切向速度约束，包含一致与不一致两种变体。
• 应用参数化迹有限元技术，实现曲面的高阶几何逼近。
• 引入稳定化项以控制非拟合设置下小网格切割引起的不稳定性。
• 通过包含能量范数、一致性和稳定化分量的变分公式定义离散系统。
• 基于相关问题的理论分析，推导出罚参数与稳定化参数的参数缩放规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶迹有限元方法能否在曲面 Stokes 方程中实现最优收敛？
• RQ2 一致与不一致罚公式之间的选择如何影响精度与稳定性？
• RQ3 何种参数缩放（罚参数、稳定化参数）可在几何误差存在时确保最优收敛？
• RQ4 几何逼近误差如何影响迹 FEM 中的整体离散化误差？
• RQ5 是否能为不一致罚公式建立最优误差界，其数值表现如何？

主要发现

• 对于 $k=2$ 与 $k=3$，速度在 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下均实现了 $h^k$ 的最优收敛率，其中 $k=2$ 展现 $\mathcal{O}(h^2)$，$k=3$ 展现 $\mathcal{O}(h^3)$ 的收敛性。
• 一致格式（P1h）在所有误差分量中均实现 $\mathcal{O}(h^{k})$ 收敛，包括能量范数 $e_A^\mathbf{u} \sim h^{k}$。
• 不一致格式（P2h）在 $a_h$ 与 $s_h$ 中实现 $\mathcal{O}(h^{k})$ 收敛，但能量范数 $e_A^\mathbf{u} \sim h^{(k+1)/2}$，表明能量范数收敛为次优。
• 在球面与环面曲面上，观测到的收敛率均符合理论预期，$\boldsymbol{P}_3$--$P_2$ 在最后一次网格细化步骤中略有下降，归因于矩阵条件数增大。
• 一致方法需计算 Weingarten 映射，而不一致方法则避免此步骤，具有计算优势。
• 数值结果证实，所提出的参数选择可在不同曲面几何与网格细化水平下实现稳定且精确的解。