[论文解读] Higher Order Tur\'an Inequalities for the Partition Function

William Y. C. Chen, Dennis X. Q. Jia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

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一句话总结

本文证明了当 $ n \geq 95 $ 时，分拆函数 $ p(n) $ 满足高阶 Turán 不等式，利用 Hardy-Ramanujan-Rademacher 公式推导出比值 $ p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $ 的紧致界。关键结果确认了对于 $ n \geq 95 $，相关的 Jensen 多项式 $ g_{3,n-1}(x) $ 仅有实根，支持了关于 $ p(n) $ 的高阶 Jensen 多项式实根性的更广泛猜想。

ABSTRACT

The Tur\\'{a}n inequalities and the higher order Tur\\'{a}n inequalities arise in the study of Maclaurin coefficients of an entire function in the Laguerre-P\\'{o}lya class. A real sequence $\\{a_{n}\\}$ is said to satisfy the Tur\\'{a}n inequalities if for $n\\geq 1$, $a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}\\geq 0$. It is said to satisfy the higher order Tur\\'{a}n inequalities if for $n\\geq 1$, $4(a_{n}^2-a_{n-1}a_{n+1})(a_{n+1}^2-a_{n}a_{n+2})-(a_{n}a_{n+1}-a_{n-1}a_{n+2})^2\\geq 0$. A sequence satisfying the Tur\\'an inequalities is also called log-concave. For the partition function $p(n)$, DeSalvo and Pak showed that for $n>25$, the sequence $\\{ p(n)\\}_{n> 25}$ is log-concave, that is, $p(n)^2-p(n-1)p(n+1)>0$ for $n> 25$. It was conjectured by Chen that $p(n)$ satisfies the higher order Tur\\'{a}n inequalities for $n\\geq 95$. In this paper, we prove this conjecture by using the Hardy-Ramanujan-Rademacher formula to derive an upper bound and a lower bound for $p(n+1)p(n-1)/p(n)^2$. Consequently, for $n\\geq 95$, the Jensen polynomials $g_{3,n-1}(x)=p(n-1)+3p(n)x+3p(n+1)x^2+p(n+2)x^3$ have only real zeros. We conjecture that for any positive integer $m\\geq 4$ there exists an integer $N(m)$ such that for $n\\geq N(m) $, the polynomials $\\sum_{k=0}^m {m\\choose k}p(n+k)x^k$ have only real zeros. This conjecture was independently posed by Ono.

研究动机与目标

• 证明 Chen 的猜想：分拆函数 $ p(n) $ 对于 $ n \geq 95 $ 满足高阶 Turán 不等式。
• 建立 Jensen 多项式 $ g_{3,n-1}(x) = p(n-1) + 3p(n)x + 3p(n+1)x^2 + p(n+2)x^3 $ 在 $ n \geq 95 $ 时仅有实根。
• 通过 Hardy-Ramanujan-Rademacher 公式得到的渐近展开，对比值 $ u_n = p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $ 进行严格分析。
• 支持更广泛的猜想：对于任意 $ m \geq 4 $，当 $ n $ 足够大时，多项式 $ \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} p(n+k) x^k $ 仅有实根。
• 确认支撑主证明的中间不等式 $ H(x) $、$ G(x) $ 和 $ \psi(t) $ 的有效性。

提出的方法

• 利用 Hardy-Ramanujan-Rademacher 分拆函数渐近公式，推导 $ p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $ 的上下界。
• 引入辅助函数 $ G(x) $ 和 $ H(x) $ 以建模分拆函数比值的渐近行为，通过有理逼近实现比较。
• 使用函数 $ \psi(t) = \frac{t + \frac{\sqrt{5}+1}{2}}{(\sqrt{1-t}+1)^2(\sqrt{1-t}+t)} $ 分析高阶 Turán 不等式中的判别式条件。
• 运用多项式主导性论证，证明当 $ x \geq 134 $ 时 $ 2H(x) - (\sqrt{5}-1)G(x) > 0 $，从而推出对 $ \psi(H(x)/G(x)) $ 所需的不等式。
• 应用涉及 $ f(n) $、$ g(n) $ 和 $ \mu(n) $ 的不等式链，其中 $ \mu(n) = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) $，以界定 $ u_n $ 和 $ Q(u_n) $。
• 通过证明当 $ n \geq 1207 $ 时 $ u_n < u_{n+1} < Q(u_n) $，验证关键不等式 $ F(u_{n+1}) > 0 $，依赖于已知的单调性和渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 分拆函数 $ p(n) $ 是否对所有 $ n \geq 95 $ 满足高阶 Turán 不等式？
• RQ2 与 $ p(n) $ 关联的 Jensen 多项式 $ g_{3,n-1}(x) $ 是否在 $ n \geq 95 $ 时具有实根？
• RQ3 比值 $ p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $ 是否能被足够紧致地界定，以验证三次 Newton 不等式条件？
• RQ4 是否存在对 $ p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $ 的统一有界性，以确保三次型的判别式非负？
• RQ5 更广泛的猜想是否成立：对于任意 $ m \geq 4 $，当 $ n $ 足够大时，多项式 $ \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} p(n+k) x^k $ 仅有实根？

主要发现

• 当 $ n \geq 95 $ 时，高阶 Turán 不等式成立，因为 $ 4(1 - u_n)(1 - u_{n+1}) - (1 - u_n u_{n+1})^2 > 0 $，其中 $ u_n = p(n+1)p(n-1)/p(n)^2 $。
• 当 $ n \geq 95 $ 时，Jensen 多项式 $ g_{3,n-1}(x) $ 仅有实根，确认了高阶 Turán 不等式的这一关键推论。
• 证明依赖于建立当 $ n \geq 1207 $ 时 $ u_n < u_{n+1} < Q(u_n) $，其中 $ Q(u_n) $ 由三次判别式条件导出。
• 当 $ x \geq 134 $ 时，不等式 $ \psi(H(x)/G(x)) > (1 - H(x)/G(x))^{3/2} $ 成立，这对界定高阶 Turán 表达式至关重要。
• 当 $ n \geq 35457 $ 时，验证了不等式 $ (1 - H(x)/G(x))^{3/2} > 110 / \mu(n-1)^5 $，其中 $ \mu(n) = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) $，支持主不等式。
• 当 $ x \geq 483 $ 时，最终不等式 $ x^{10}(G(x) - H(x))^3 - 110^2 G(x)^3 > 0 $ 成立，确认了证明中使用的边界链。