[论文解读] Higher order variational time discretization of optimal control problems

Cédric M. Campos, Oliver Junge+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2012

Robotic Mechanisms and Dynamics被引用 9

一句话总结

该论文通过采用基于多项式配点的求积规则，提出了一种用于机械系统最优控制问题的高阶变分时间格式，提高了计算效率，同时保持了动量映射和能量行为等关键几何结构。该方法实现了四阶收敛，并且与低阶格式相比显著降低了计算成本。

ABSTRACT

We reconsider the variational integration of optimal control problems for mechanical systems based on a direct discretization of the Lagrange-d'Alembert principle. This approach yields discrete dynamical constraints which by construction preserve important structural properties of the system, like the evolution of the momentum maps or the energy behavior. Here, we employ higher order quadrature rules based on polynomial collocation. The resulting variational time discretization decreases the overall computational effort.

研究动机与目标

• 开发一种用于机械系统最优控制问题的高阶时间离散化方法，以保持内在的几何结构。
• 通过采用基于多项式配点的高阶求积规则而非二阶规则，降低计算成本。
• 在提高精度和效率的同时，保持结构保持性特征（如动量映射演化和能量行为）。
• 通过数值实验表明，高阶格式可在更少的节点下实现相近的精度，从而减少内存和CPU使用量。
• 为未来工作奠定自适应阶数变分积分器的基础。

提出的方法

• 该方法利用高阶多项式配点对Lagrange-d’Alembert原理进行离散化，以近似作用量积分。
• 将最优控制问题表述为带有由变分原理导出的离散动力学约束的有限维非线性规划问题。
• 由于其基于离散变分力学，该方法保持了辛结构、动量映射和能量行为。
• 阶数为s的多项式配点可导出阶数为2s的变分积分器，从而在每个时间步实现更高精度。
• 使用非线性规划求解器（fmincon）求解离散系统，约束条件和雅可比矩阵通过数值方式计算。
• 该方法支持自适应节点布置和变阶离散化，通过减少节点数量实现效率提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于多项式配点的高阶求积规则是否能提升变分时间离散化在最优控制问题中的效率？
• RQ2 高阶格式是否能保持与低阶版本相同的结构保持性特征（如动量映射、能量行为）？
• RQ3 在实际应用中，高阶变分离散化的收敛速率如何？
• RQ4 与使用更多节点的低阶格式相比，使用更少节点的高阶格式在计算成本上表现如何？
• RQ5 能否从离散变分框架中推导出自适应阶数离散化方法，以进一步优化性能？

主要发现

• 通过数值实验验证，基于多项式配点的变分时间离散化在s=2时实现了四阶收敛，误差衰减率符合预期。
• 对于受控谐振子，状态、控制和伴随变量的误差在节点数加倍时约降低一个数量级。
• 使用s=5（即十阶方法）仅需4个节点，即可达到s=2使用256个节点的精度水平，约束评估次数减少两个数量级。
• 拉格朗日约束评估次数从低阶情形（s=2, N=256）的8790万次降至高阶情形（s=5, N=8）的796848次，显著降低计算开销。
• 低阶情形下拉格朗日雅可比矩阵需超过110万次评估，而高阶情形仅需约18.8万次，凸显效率优势。
• 在高阶情形（如s=5）下，方法精度已超越机器精度，若无更高精度算术，进一步细化计算将不再必要。