[论文解读] Higher-Page Hodge Theory of Compact Complex Manifolds

Dan Popovici, Jonas Stelzig+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文引入了页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-流形的概念，将经典的$\partial\bar{\partial}$-引理推广至弗罗利希谱序列的更高页。它建立了该性质的数值刻画，并证明该性质在爆破和形变下保持不变，从而将霍奇理论扩展至非凯勒和非$\partial\bar{\partial}$流形，如尼尔流形和可解流形。

ABSTRACT

On a compact $\partial\bar\partial$-manifold $X$, one has the Hodge decomposition: the de Rham cohomology groups split into subspaces of pure-type classes as $H_{dR}^k (X)=\oplus_{p+q=k}H^{p,\,q}(X)$, where the $H^{p,\,q}(X)$ are canonically isomorphic to the Dolbeault cohomology groups $H_{\bar\partial}^{p,\,q}(X)$. For an arbitrary nonnegative integer $r$, we introduce the class of page-$r$-$\partial\bar\partial$-manifolds by requiring the analogue of the Hodge decomposition to hold on a compact complex manifold $X$ when the usual Dolbeault cohomology groups $H^{p,\,q}_{\bar\partial}(X)$ are replaced by the spaces $E_{r+1}^{p,\,q}(X)$ featuring on the $(r+1)$-st page of the Frölicher spectral sequence of $X$. The class of page-$r$-$\partial\bar\partial$-manifolds coincides with the usual class of $\partial\bar\partial$-manifolds when $r=0$ but may increase as $r$ increases. We give two kinds of applications. On the one hand, we give a purely numerical characterisation of the page-$r$-$\partial\bar\partial$-property in terms of dimensions of various cohomology vector spaces. On the other hand, we obtain several classes of examples, including all complex parallelisable nilmanifolds and certain families of solvmanifolds and abelian nilmanifolds. Further, there are general results about the behaviour of this new class under standard constructions like blow-ups and deformations.

研究动机与目标

• 将经典的$\partial\bar{\partial}$-引理和霍奇分解推广至紧致复流形上弗罗利希谱序列的更高页。
• 定义并研究页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-流形类，其中霍奇分解使用上同调空间$E_r^{p,q}$而非多尔贝奥陶上同调成立。
• 以同调维数为条件，提供页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-性质的数值刻画。
• 研究该性质在标准几何操作（如爆破和形变）下的行为。
• 构造新例子，包括复平行化尼尔流形和某些可解流形，它们对$r \geq 1$满足页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-条件。

提出的方法

• 通过要求霍奇分解在弗罗利希谱序列的第$r$页成立，并以$E_{r+1}^{p,q}(X)$替代$H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X)$，来定义页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-流形。
• 引入一个典范映射$T_r: H^{n-1,n-1}_A(X,\mathbb{C}) \to E_r^{n,n-1}(X)$，定义为$[\alpha]_A \mapsto \{\partial\alpha\}_{E_r}$，以分析$E_r$-sG条件。
• 证明流形是$E_r$-sGG当且仅当$T_r = 0$，将该映射与$E_r$-sG度量的存在性联系起来。
• 利用弱因子分解定理，将双有理不变性归约为中心为余维数$\geq 2$的光滑爆破。
• 利用爆破下阿佩普利上同调的分解，证明当中心维数$\leq n-2$时，$T_r$仅依赖于底流形的上同调。
• 应用该理论构造例子，包括复平行化尼尔流形和阿贝尔尼尔流形，表明它们对所有$r \geq 0$都是页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的霍奇分解和$\partial\bar{\partial}$-引理能否推广至弗罗利希谱序列的更高页？
• RQ2 页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-性质的同调维数有何数值条件？
• RQ3 页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-性质在复结构的爆破和形变下是否保持不变？
• RQ4 是否存在对$r \geq 2$不是页-$(r-1)$-$\partial\bar{\partial}$-流形的页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-流形？
• RQ5 哪些紧致复流形（如尼尔流形或可解流形）满足页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-条件？

主要发现

• 页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-流形类推广了经典的$\partial\bar{\partial}$-流形，且在$r=0$时两者相等。
• 紧致复流形是$E_r$-sGG当且仅当映射$T_r: H^{n-1,n-1}_A(X,\mathbb{C}) \to E_r^{n,n-1}(X)$恒为零。
• $E_r$-sGG性质具有双有理不变性，通过弱因子分解定理及爆破下上同调的分解得以证明。
• 页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-性质在全纯形变和中心为余维数$\geq 2$的光滑爆破下保持不变。
• 所有复平行化尼尔流形对每个$r \geq 0$都是页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-流形，且某些可解流形族与阿贝尔尼尔流形也满足该条件。
• 本文未完成构造对$r \geq 2$不是页-$(r-1)$-$\partial\bar{\partial}$-流形的页-$r$-$\partial\bar{\partial}$-流形，但暗示此类例子很可能存在。