[论文解读] Higher power squeezed states, Jacobi matrices, and the Hamburger moment problem

Bengt Nagel|ArXiv.org|Nov 17, 1997

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文将高阶压缩态定义为Bogolubov变换后的k次幂湮灭算符的本征态，推导出其Fock态系数的三阶递推关系。对于k ≥ 3，相应的对称算符构成一个雅可比矩阵，与一个未确定的Hamburger矩问题相关联，意味着存在无限多个具有不相交谱的自伴扩张，尽管如此，压缩态仍保持良好定义，即使在k=2以上无显式解。

ABSTRACT

k:th power (amplitude-)squeezed states are defined as the normalized states giving equality in the Schroedinger-Robertson uncertainty relation for the real and imaginary parts of the k:th power of the one-mode annihilation operator. Equivalently they are the set of normalized eigenstates (for all possible complex eigenvalues) of the Bogolubov transformed "k:th power annihilation operators". Expressed in the number representation the eigenvalue equation leads to a three term recursion relation for the expansion coefficients, which can be explicitly solved in the cases k = 1, 2. The solutions are essentially Hermite and Pollaczek polynomials, respectively. k = 1 gives the ordinary squeezed states, i.e. displaced squeezed vacua. For k equal to or larger than three, where no explicit solution has been found, the recursion relation for the symmetric operator given by the real part of the k:th power of the annihilation operator defines a Jacobi matrix corresponding to a classical Hamburger moment problem, which is undetermined. This implies that the operator has an infinity of self-adjoint extensions, all with disjoint discrete spectra. The corresponding squeezed states are well-defined, however.

研究动机与目标

• 将k阶（振幅）压缩态定义为实现单模湮灭算符k次幂的实部与虚部在Schrödinger-Robertson不确定关系中取等号的归一化态。
• 研究这些态在Fock基中的本征方程的数学结构，导出展开系数的三阶递推关系。
• 分析k ≥ 3的情形，此时无显式解，探讨由此雅可比矩阵对自伴扩张问题的影响。
• 将算符结构与经典Hamburger矩问题相联系，并评估其在更高k值下的确定性。
• 确立即使矩问题未确定且算符具有无限多个自伴扩张，高阶压缩态仍具有物理良好定义性。

提出的方法

• 将k阶压缩态定义为任意复特征值下Bogolubov变换后的k次幂湮灭算符的归一化本征态。
• 在Fock基中表达本征方程，得到状态系数的三阶线性递推关系。
• 显式求解k = 1和k = 2的情形，分别识别出解为Hermite多项式与Pollaczek多项式。
• 对于k ≥ 3，将k次幂湮灭算符实部构成的对称算符解释为雅可比矩阵。
• 应用Hamburger矩问题理论分析该雅可比矩阵的自伴扩张，表明该问题未确定。
• 得出结论：该算符存在无限多个具有不相交离散谱的自伴扩张，但相应的压缩态仍保持良好定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于k ≥ 3，k阶压缩态的数学结构是什么？与已知的k=1和k=2情形有何不同？
• RQ2 高阶压缩态的本征方程在Fock表示中如何转化为递推关系？
• RQ3 由k次幂湮灭算符实部导出的雅可比矩阵与经典Hamburger矩问题之间有何联系？
• RQ4 Hamburger矩问题与k阶压缩态算符关联的确定性或不确定性的条件是什么？
• RQ5 当矩问题未确定且算符具有无限多个自伴扩张时，高阶压缩态是否仍可视为物理上良好定义？

主要发现

• 对于k=1和k=2，高阶压缩态的Fock空间系数可显式求解，分别对应Hermite多项式与Pollaczek多项式。
• 对于k ≥ 3，状态系数的递推关系导出与k次幂湮灭算符实部相关的雅可比矩阵。
• 该雅可比矩阵对应的Hamburger矩问题未确定，意味着算符存在无限多个自伴扩张。
• 所有自伴扩张均具有不相交的离散谱，表明算符具有丰富且非唯一的谱结构。
• 尽管缺乏唯一的自伴扩张，高阶压缩态仍保持为良好定义的量子态。
• 结果为k阶压缩态建立了严格的数学框架，超越可解情形，将量子光学与经典矩问题相联系。