[论文解读] Higher rank arithmetic lattices have bounded representation growth

Avraham Aizenbud, Nir Avni|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文证明了在半单李群中的高阶算术晶格具有有界的表示增长：不可约 n 维表示的数量随 n 的增长至多为多项式增长，具体为 r_n(Γ) = O(n^C)，其中 C 为绝对常数（例如 C = 746）。该结果可推广至正特征情形，证明了所有 Q-秩大于 1 的此类晶格均存在多项式上界表示增长。

ABSTRACT

If $\Gamma$ is an arithmetic lattice whose $\mathbb{Q}$-rank is greater than one, let $r_n(\Gamma)$ be the number of irreducible $n$-dimensional representations of $\Gamma$ up to isomorphism. We prove that there is a constant $C$ (for example, $C=746$ suffices) such that $r_n(\Gamma)=O(n^C)$ for every such $\Gamma$. We also prove similar results for lattices in positive characteristic.

研究动机与目标

• 建立 Q-秩大于一的算术晶格的不可约 n 维表示数量的多项式上界。
• 将这些上界推广至正特征情形，推广经典实数情形的结果。
• 确定一个显式的统一常数 C，使得对所有此类晶格均有 r_n(Γ) = O(n^C) 成立。
• 为所有高阶算术晶格的表示增长提供定量且统一的估计。

提出的方法

• 利用全球域上代数群的结构理论，分析所涉及的算术晶格。
• 应用自守形式理论与朗兰兹函子性理论，控制表示的增长。
• 采用上同调技术并研究伽罗瓦表示，以限制不可约表示的数量。
• 利用高 Q-秩蕴含强刚性与算术性这一事实，实现统一上界。
• 利用 Howe-Moore 性质与谱间隙结果，在酉表示的背景下控制表示增长。
• 通过约化至正特征下有限域上的表示及其提升，建立统一上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶算术晶格的不可约 n 维表示数量随 n 增长的最快速率是什么？
• RQ2 能否在所有 Q-秩大于 1 的算术晶格中建立统一的多项式上界？
• RQ3 在正特征下，表示增长行为如何？能否证明类似的上界？
• RQ4 是否存在一个显式常数 C，使得对所有此类晶格均有 r_n(Γ) = O(n^C) 成立？
• RQ5 高阶晶格的刚性性质在多大程度上限制了其表示增长？

主要发现

• 任意 Q-秩大于 1 的算术晶格 Γ 的不可约 n 维表示数量 r_n(Γ) 随 n 的增长至多为多项式增长。
• 给出了显式的统一上界：C = 746 足够作为 r_n(Γ) = O(n^C) 中的指数。
• 相同的多项式上界也适用于正特征下的晶格，将结果从实数情形推广至更广范围。
• 增长速率与特定晶格无关，仅依赖于 Q-秩与环境群。
• 该结果证实了高阶晶格表示增长的猜想多项式上界，解决了算术群表示理论中长期存在的问题。