[论文解读] Higher rank local systems in Lagrangian Floer theory

Momchil Konstantinov|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 7

一句话总结

该论文将拉格朗日子弗勒理论推广至单调辛流形中的高阶局部系统，识别出Maslov 2盘是定义弗勒上同调的主要障碍。论文引入了无阻碍子复形——特别是中心弗勒复形与单值弗勒复形——并构造了在ℂP³中的Chiang拉格朗日子流形上定义于𝔽₂上的秩2局部系统，其弗勒上同调非零，证明了该拉格朗日子流形即使存在Maslov 2盘，也无法通过哈密顿同伦实现位移。

ABSTRACT

We extend Floer theory for monotone Lagrangians to allow coefficients in local systems of arbitrary rank. Unlike the rank 1 case, this is often obstructed by Maslov 2 discs. We study exactly what the obstruction is and define some natural unobstructed subcomplexes. To illustrate these constructions we do some explicit calculations for the Chiang Lagrangian $L_Δ \subseteq \mathbb{C}P^3$. For example, we equip $L_Δ$ with a particular rank 2 local system $W$ over the field with 2 elements such that the resulting Floer complex $CF^*(W,W)$ is unobstructed despite the presence of Maslov 2 discs. We compute that the cohomology $HF^*(W,W)$ is non-zero and deduce that the Chiang Lagrangian cannot be disjoined from $\mathbb{R}P^3$ by a Hamiltonian isotopy.

研究动机与目标

• . 本文旨在将弗勒上同调推广至单调情形下的高阶局部系统，此前此类系数曾受阻。
• . 识别出在高阶局部系统下定义弗勒上同调的精确障碍，表明其源于具有非平凡单值的Maslov 2盘。
• . 在可能受阻的弗勒复形内系统构造无阻碍子复形——中心与单值弗勒复形。
• . 将理论应用于Chiang拉格朗日子流形L∆ ⊂ ℂP³，显式计算在𝔽₂上秩2局部系统下的弗勒上同调。
• . 核心目标是证明即使存在Maslov 2盘，非平凡弗勒上同调仍可存在，从而推导出不可位移性。

提出的方法

• . 论文引入一个障碍截面m₀(L, E) ∈ H⁰(L, End(E))，将其推广至高阶局部系统，以捕捉d² = 0的障碍。
• . 定义中心弗勒复形为完整弗勒复形中最大的无阻碍子复形，以确保微分的良定义性。
• . 当拉格朗日子流形自相互作用时，引入单值弗勒复形作为进一步的子复形，利用单值表示定义子复形。
• . 通过珍珠复形构造将理论应用于Chiang拉格朗日子流形，该方法允许利用Morse-Bott技巧与全纯盘贡献高效计算弗勒上同调。
• . 使用𝔽₂上二面体群（阶为12）的表示理论对局部系统进行分类，并分析单值作用。
• . 证明对于L∆上的特定秩2局部系统W，障碍截面消失，从而保证弗勒复形无阻碍且其上同调非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 . 在单调情形下，定义高阶局部系统弗勒上同调的精确障碍是什么？
• RQ2 . 是否可以在可能受阻的弗勒复形内系统地定义无阻碍子复形？
• RQ3 . 即使存在Maslov 2盘，高阶局部系统下非零弗勒上同调是否意味着拉格朗日子流形的不可位移性？
• RQ4 . 是否能对非平凡拉格朗日子流形（如Chiang拉格朗日子流形）使用高阶局部系统进行显式计算？
• RQ5 . 局部系统的单值如何与微分中的全纯盘贡献相互作用？

主要发现

• . 对于ℂP³中的Chiang拉格朗日子流形L∆，构造了一个特定的𝔽₂上秩2局部系统W，使得障碍截面m₀(L∆, W)消失。
• . 由此得到的弗勒复形CF∗(W, W)是无阻碍的，即尽管存在Maslov 2盘，仍有d² = 0成立。
• . 计算得出其上同调HF∗(W, W)非零，具体同构于H∗(L∆; 𝔽₂) ⊗ 𝔽₂的某一阶。
• . HF∗(W, W)的非零性意味着L∆无法通过哈密顿同伦从RP³中位移。
• . 该构造表明，即使秩1系统失效，高阶局部系统仍可探测几何障碍（如不可位移性）。
• . 论文证明：𝔽₂上任意维度大于8的Γ∆-忠实表示均不能是不可约的，该结果用于对L∆上相关局部系统进行分类。