[论文解读] Higher representations and cornered Heegaard Floer homology

Andrew Manion, Raphaël Rouquier|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文为超李代数 𝔤𝔪(1|1)⁺ 的正部分构建了2-表示理论，通过构造2-表示的张量积结构，模拟了带边Heegaard-Floer同调中的曲面粘合。它建立了曲线上粘合操作与2-表示张量积之间的对应关系，将Heegaard-Floer理论推广至一维，并为4维TQFT提供了一个非同伦的框架。

ABSTRACT

We develop the 2-representation theory of the odd one-dimensional super Lie algebra $gl(1|1)^+$ and show it controls the Heegaard-Floer theory of surfaces of Lipshitz, Ozsváth and Thurston. Our main tool is the construction of a tensor product for 2-representations. We show it corresponds to a gluing operation for surfaces, or the chord diagrams of arc decompositions. This provides an extension of Heegaard-Floer theory to dimension one, expanding the work of Douglas, Lipshitz and Manolescu.

研究动机与目标

• 为超李代数 𝔤𝔪(1|1)⁺ 的正部分构建2-表示理论，避免同伦复杂性。
• 构造一种2-表示的张量积结构，使其对应于Heegaard-Floer理论中的曲面粘合操作。
• 通过在曲线关联的微分范畴上实现2-表示，将带边Heegaard-Floer理论从二维推广至一维。
• 建立弧分解所得的弦图与2-表示张量积之间的对应关系。
• 基于 𝔤𝔪(1|1)⁺ 构建一个4维TQFT的代数框架，受Crane-Frenkel提议的启发。

提出的方法

• 将2-表示的2-范畴定义为由特征2的幂零Hecke代数与微分构成的单幺半群微分范畴 𝒰 所作用的微分范畴。
• 通过弱态射和微分范畴上可交换的2-表示结构，构造2-表示的张量积。
• 通过2-表示上的对角作用与对偶对角作用建模曲面粘合，对应于粘合开口的三角裤（pair of pants）。
• 利用与奇异曲线关联的辫子代数实现2-表示，其中曲线的端点编码边界数据。
• 通过在辫子范畴上的作用，建立曲面粘合与2-表示张量积之间的对应关系。
• 利用Khovanov的单幺半群范畴 𝒰，其Grothendieck群同构于 𝔤𝔪(1|1)⁺ 的普遍包络代数，以定义2-表示框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖同伦结构的前提下，为 𝔤𝔪(1|1)⁺ 的正部分构建2-表示理论？
• RQ2 2-表示的张量积具有何种代数结构？它如何模拟拓扑粘合操作？
• RQ3 曲面弧分解所得的弦图与2-表示的张量积之间存在何种对应关系？
• RQ4 在微分范畴上实现的2-表示框架能否实现带边Heegaard-Floer理论中的曲面粘合？
• RQ5 辫子代数在编码2-表示及其张量积结构方面起何种作用？

主要发现

• 与一般Kac-Moody代数不同，𝔤𝔪(1|1)⁺ 的2-表示理论被构造为无同伦复杂性，从而提供了明确的代数框架。
• 通过弱态射和可交换作用定义了2-表示的张量积结构，该结构对应于曲面粘合操作。
• 沿边界区间粘合两个曲面，对应于其关联2-表示的张量积，该关系通过辫子代数建模。
• 单幺半群范畴 𝒰 在微分范畴上的作用实现了编码带边Heegaard-Floer不变量的2-表示，其层级位于曲线上。
• 该构造为Heegaard-Floer理论提供了非同伦的2-范畴一维推广，支持4维TQFT框架。
• 通过辫子代数及其微分模的结构，建立了弦图与2-表示张量积之间的对应关系。