[论文解读] Higher signatures for the derived Witt groups

Jeremy Jacobson|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文通过二次型的符号构造更高阶的全局符号，将实代数簇的导出Witt群与其实点的奇异上同调联系起来。它为2可逆的导出Witt群建立了Atiyah-Hirzebruch谱序列，以贝蒂数表示其秩的上界，并证明了模2符号定理的整数版本，解决了Karoubi关于挠子群有界性的疑问。

ABSTRACT

Let $X$ be an algebraic variety over the field of real numbers $\mathbb{R}$. We use the signature of a quadratic form to produce higher global signatures relating the derived Witt groups of $X$ to the singular cohomology of the real points $X(\mathbb{R})$ with integer coefficients. We also study the global signature ring homomorphism and use the powers of the fundamental ideal in the Witt ring to prove an integral version of a theorem of Raman Parimala and Jean Colliot-Thelene on the mod 2 signature. Furthermore, we obtain an Atiyah-Hirzebruch spectral sequence for the derived Witt groups of $X$ with 2 inverted. Using this spectral sequence, we provide a bound on the ranks of the derived Witt groups of $X$ in terms of the Betti numbers of $X(\mathbb{R})$. We apply our results to answer a question of Max Karoubi on boundedness of torsion in the Witt group of $X$. Throughout the article, the results are proved for a wide class of schemes over an arbitrary base field of characteristic different from 2 using real cohomology in place of singular cohomology.

研究动机与目标

• 通过二次型符号将实代数簇的导出Witt群与其实点的奇异上同调联系起来。
• 研究全局符号环同态，并将模2符号的结果推广到整数情形。
• 为2可逆的导出Witt群构造Atiyah-Hirzebruch谱序列。
• 以实点空间的贝蒂数界定导出Witt群的秩。
• 解决Max Karoubi关于实代数簇Witt群挠子群有界性的疑问。

提出的方法

• 利用二次型的符号定义从导出Witt群到整系数奇异上同调的更高阶全局符号映射。
• 通过Witt环中基本理想的幂次，证明Raman Parimala–Colliot-Thélène定理在模2符号情形下的整数版本。
• 为2可逆的导出Witt群构造Atiyah-Hirzebruch谱序列，使用实上同调替代任意域上的奇异上同调。
• 利用该谱序列，以实点空间的贝蒂数导出导出Witt群秩的上界。
• 通过使用实上同调而非奇异上同调，将结果从实代数簇推广到任意特征≠2的域上的广泛范畴的概形。
• 分析全局符号环同态，将类似代数K-理论的不变量与实点的拓扑不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从二次型符号构造更高阶符号，以将导出Witt群与实点的奇异上同调联系起来？
• RQ2 在导出Witt群的语境下，Raman Parimala–Colliot-Thélène定理关于模2符号的整数类比是什么？
• RQ3 能否为2可逆的导出Witt群建立Atiyah-Hirzebruch谱序列？它揭示了这些群的何种结构特征？
• RQ4 实点空间的贝蒂数在多大程度上界定了导出Witt群的秩？
• RQ5 正如Max Karoubi所问，实代数簇的Witt群中的挠子群是否具有统一的有界性？

主要发现

• 本文构造了从导出Witt群到实点奇异上同调（整系数）的全局符号同态。
• 通过Witt环中基本理想的幂次，证明了模2符号定理的整数版本。
• 为2可逆的导出Witt群建立了Atiyah-Hirzebruch谱序列，该谱序列收敛于导出Witt群。
• 该谱序列给出了以实点空间贝蒂数表示的导出Witt群秩的上界。
• 研究结果通过证明实代数簇Witt群中的挠子群以统一方式有界，解决了Max Karoubi的疑问。
• 该框架通过使用实上同调而非奇异上同调，推广至任意特征≠2的域上的概形。