[论文解读] Higher symmetry and gapped phases of gauge theories

Anton Kapustin, Ryan Thorngren|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2013

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用 30

一句话总结

本文提出了一种基于有限2群的广义拓扑量子场论（TQFT），描述了同时具有Higgs机制与禁闭的能隙物相，扩展了Dijkgraaf-Witten理论。该研究在2–4维中对拓扑作用量与可观测量进行了分类，表明此类物相受高阶对称性保护——具体而言，是电与磁规范群构成的2群对称性，其分类基于群上同调与二次型。

ABSTRACT

We study topological field theory describing gapped phases of gauge theories where the gauge symmetry is partially Higgsed and partially confined. The TQFT can be formulated both in the continuum and on the lattice and generalizes Dijkgraaf-Witten theory by replacing a finite group by a finite 2-group. The basic field in this TQFT is a 2-connection on a principal 2-bundle. We classify topological actions for such theories as well as loop and surface observables. When the topological action is trivial, the TQFT is related to a Dijkgraaf-Witten theory by electric-magnetic duality, but in general it is distinct. We propose the existence of new phases of matter protected by higher symmetry.

研究动机与目标

• 对同时表现出Higgs机制与禁闭的规范理论能隙物相进行系统分类，其范围超越标准的Dijkgraaf-Witten TQFT。
• 构建基于有限2群的晶格模型，通过引入1-形式与2-形式规范场，推广Dijkgraaf-Witten理论。
• 识别并分类此类理论在2、3、4维中的拓扑作用量与可观测量（特别是表面算符）。
• 提出能隙物相（短程纠缠）可由高阶对称性（具体为2群对称性）保护，而非普通全局对称性。
• 通过群上同调数据的分类，建立此类TQFT与对称性保护拓扑物相之间的对应关系。

提出的方法

• 基于有限2群（G, H, t, α）构建连续与晶格TQFT，其中G为电规范群，H为磁规范群，t: H → G，α: G → Aut(H)，并满足一致性条件。
• 构建包含Π1（电规范群）与Π2（磁规范群）的晶格规范模型，利用主2丛上的2-联络定义拓扑作用量，其形式由群上同调类确定。
• 对2–4维中的拓扑作用量进行分类：在2维中，其退化为电规范群Π1的Dijkgraaf-Witten理论；在3维中，依赖于H^3(Π1, U(1))中的3阶类与H^1(Π1, ˆΠ2)中的1阶类；在4维中，包含H^4(Π1, U(1))中的4阶类、H^2(Π1, ˆΠ2)中的2阶类，以及取值于U(1)的Π2上的二次函数。
• 利用电-磁对偶性，将3维中的2-形式场与取值于ˆΠ2的标量场关联，将4维中的2-形式场与规范场关联（当仅前两项作用量非零时）。
• 应用Serre谱序列分析分类空间BG的上同调结构，识别相关微分及其物理意义。
• 通过证明此类TQFT的分类与2群对称性保护的物相分类一致，建立TQFT与对称性保护拓扑物相之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在超越标准Dijkgraaf-Witten理论的框架下，系统分类同时具有Higgs机制与禁闭的规范理论能隙物相？
• RQ2 基于有限2群的TQFT在2、3、4维中的拓扑作用量具有何种结构？
• RQ3 此类TQFT中，环与表面可观测量（特别是测量2-形式通量的可观测量）的行为如何？
• RQ4 在低维中，能否利用电-磁对偶性将2-形式场对偶化为标量场或规范场？
• RQ5 Postnikov类β ∈ H^3(BΠ1, Π2)在TQFT的拓扑不变量中具有何种物理意义？

主要发现

• 在2维中，TQFT退化为电规范群Π1的标准Dijkgraaf-Witten理论，磁群Π2无贡献。
• 在3维中，拓扑作用量依赖于两个参数：H^3(Π1, U(1))中的3阶上同调类与H^1(Π1, ˆΠ2)中的1阶上同调类，其中ˆΠ2 = Hom(Π2, U(1))。
• 在4维中，作用量依赖于三个参数：H^4(Π1, U(1))中的4阶类、H^2(Π1, ˆΠ2)中的2阶类，以及取值于U(1)的Π2上的二次函数。
• 3维中的2-形式场可对偶化为取值于ˆΠ2的标量场，表明2-形式与标量自由度之间存在对偶性。
• 在4维中，当作用量中仅前两项非零时，2-形式场可对偶化为规范场，暗示其与标准规范理论的对偶性。
• 在仅磁群Π2非平凡的特殊情形下，该TQFT与Walker-Wang模型相关联，表明其与任意子拓扑序的已知模型存在联系。