[论文解读] Higher Topos Theory

Jacob Lurie|ArXiv.org|Aug 2, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用 1,021

一句话总结

本文将高等拓扑斯理论发展为现代同伦论与高阶范畴论的基础框架，引入∞-范畴（准范畴）并利用模型范畴与局部化方法建立其性质。主要贡献在于系统地构建了具有普遍性质的高等拓扑斯作为∞-范畴的理论，将格罗滕迪克的拓扑斯理论推广至高阶范畴。

ABSTRACT

This purpose of this book is twofold: to provide a general introduction to higher category theory (using the formalism of "quasicategories" or "weak Kan complexes"), and to apply this theory to the study of higher versions of Grothendieck topoi. A few applications to classical topology are included.

研究动机与目标

• 发展∞-范畴的全面理论，将其作为普通范畴与拓扑空间的推广。
• 提供格罗滕迪克拓扑斯理论的高阶范畴类比，将层论与上同调方法推广至高维。
• 建立高等拓扑斯的形式性质，包括表示性、局部化与普遍构造。
• 通过∞-范畴的视角，统一经典代数拓扑（例如通过艾伦伯格-麦克莱恩空间的上同调）与高阶范畴结构。

提出的方法

• 以准范畴（∞-范畴的模型）作为高阶范畴论的主要框架。
• 应用模型范畴理论——特别是左拟合的组合性西米利阿模型范畴——来构造与分析∞-范畴。
• 引入博斯菲尔德局部化，构造新的模型结构，使某些映射成为弱等价，从而实现普遍构造。
• 通过∞-范畴设定下的Yoneda引理建立函子的表示性，推广经典范畴论中的表示性。
• 应用可表示∞-范畴的理论，证明其由小集合在余极限下生成，并满足伴随函子定理。
• 使用局部化技术定义并研究高等拓扑斯，将其视为预层∞-范畴的局部化。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典代数拓扑概念（如上同调与分类空间）如何推广至高阶范畴设定？
• RQ2 格罗滕迪克拓扑斯的正确高阶范畴类比是什么？它应满足何种普遍性质？
• RQ3 如何利用模型范畴理论技术（特别是局部化）构造与操作∞-范畴？
• RQ4 何种条件可保证∞-范畴间函子的表示性？这如何推广经典Yoneda引理？
• RQ5 Quillen伴随在∞-范畴语境下的局部化中如何表现？其导出函子行为如何？

主要发现

• 空间的∞-范畴与点上的空间∞-范畴等价，这是高等拓扑斯理论的基础。
• 每个可表示∞-范畴都是预层∞-范畴的局部化，推广了格罗滕迪克拓扑斯的经典结果。
• 在组合性西米利阿模型范畴中，对一组态射进行局部化，可得到新的模型结构；其导出函子保持弱等价当且仅当原函子保持局部化。
• 在左拟合的组合性西米利阿模型范畴之间的Quillen伴随，诱导出局部化模型结构上的Quillen伴随，当且仅当左导出函子将局部化态射映为同构。
• 若Quillen伴随的右导出函子是全忠实的，则其在局部化模型结构上诱导的伴随为Quillen等价，推广了经典的Quillen等价判据。
• 该理论证明：高等拓扑斯恰好是预层∞-范畴局部化的可表示∞-范畴，提供了格罗滕迪克拓扑斯的高阶范畴推广。