[论文解读] Higher weight Gel'fand-Kalinin-Fuks classes of formal Hamiltonian vector fields of symplectic R^2

Kentaro Mikami, Hiroki Kodama+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文使用 Sp(2,ℝ)-表示理论与计算机辅助线性代数，计算了在 ℝ² 上形式哈密顿向量场的高权相对 Gel'fand-Kalinin-Fuks 上同调群。其确定了权至 50 的余链复形维数，并显式计算了权至 18 的上同调群，揭示了在权 12、14、16 和 18 处存在非平凡的贝蒂数，且权 20 的上同调群除度 0 外均为平凡。

ABSTRACT

In "The Gel'fand-Kalinin-Fuks class and characteristic classes of transversely symplectic foliations", arXiv:0910.3414, (October 2009) by D.Kotschick and S.Morita, the relative Gel'fand-Kalinin-Fuks cohomology groups of the formal Hamiltonian vector fields without constant vector fields on 2n-plane were characterized by two parameters, one is degree and the other is weight. And they obtained those cohomology groups of the 2-plane while their weight <= 10. In this paper, for those cohomology groups of the 2-plane, we succeeded in determining the dimension of cochain complexes by Sp(2,R)-representation theory for their weight even less than 50, thus, we manipulate the Euler characteristic numbers. We also decide our relative Gel'fand-Kalinin-Fuks cohomology groups until whose weight < 20 by getting a concrete matrix representation of the coboundary operator.

研究动机与目标

• 将形式哈密顿向量场在 ℝ² 上的相对 Gel'fand-Kalinin-Fuks 上同调群的计算扩展至先前已知的权 ≤ 10 之外。
• 使用 Sp(2,ℝ)-表示理论与杨图参数化，确定权至 50 的余链复形维数。
• 通过余边界算子的矩阵表示，显式计算权至 18 的相对上同调群。
• 使用格罗布纳基技术验证权 20 的贝蒂数，确认除度 0 外所有度的上同调群均为平凡。

提出的方法

• 利用 Sp(2,ℝ)-表示理论分析余链复形的权分次结构，通过杨图参数化不可约表示。
• 构造一个生成函数以表示权，使用齐次多项式对称幂表示 S^ℓ。
• 使用计算机代数（Maple 与自定义 Perl 脚本）处理大型余链复形，包括德拉姆型余边界计算。
• 采用分解策略管理内存溢出问题，将大型余链拆分为更小的分量，并分别计算 d 算子作用。
• 使用 action_new.mpl Maple 脚本计算每个直和分量在 Sp(2,ℝ) 作用下的闭链与 d-像的基。
• 对权 20 的线性系统应用格罗布纳基理论，以验证贝蒂数，确认除度 0 外所有度的上同调群均为平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 形式哈密顿向量场在 ℝ² 上的余链复形在权至 50 时的维数是多少？
• RQ2 在权 12 至 18 之间，哪些上同调群是非平凡的，其贝蒂数是多少？
• RQ3 权 20 的相对上同调群是否包含非平凡类，其欧拉示性数是多少？
• RQ4 如何将表示理论与计算代数相结合，以计算更高权的 Gel'fand-Kalinin-Fuks 类？

主要发现

• 权 12、14、16 和 18 的上同调群是非平凡的，其贝蒂数分别为度 4、5、6 和 7 的 1。
• 权 12 的欧拉示性数为 2，而权 14、16 和 18 的欧拉示性数为 0，表明贝蒂数分布均衡。
• 对于权 20，所有度的贝蒂数均为平凡，仅度 0 非零，确认不存在非平凡上同调类。
• 权 20 的余链复形在度 1 至 11 的总维数为 1,154，其交错和（欧拉示性数）等于 1。
• 通过格罗布纳基理论对线性系统进行验证，确保了权 20 计算的正确性，即使在内存受限条件下亦成立。
• 该方法成功将先前结果扩展至权 10 以上，实现了使用计算代数与表示理论系统计算权至 20 的上同调群。