[论文解读] Highest weight theory for finite W-algebras

Jonathan Brundan, Simon M. Goodwin+1 more|ArXiv.org|Jan 9, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过从包含幂零元 e 的极小 Levi 子代数进行抛物诱导，构造了 Verma 模，建立了有限 W 代数的最高权理论。证明了有限维不可约表示恰好对应于其行等价类可表示为列严格表的最高权，通过 Robinson-Schensted 对应关系在标准 Levi 类型情形下实现了完整分类。

ABSTRACT

We define analogues of Verma modules for finite W-algebras. By the usual ideas of highest weight theory, this is a first step towards the classification of finite dimensional irreducible modules. Motivated by known results in type A, we then formulate some precise conjectures in the case of nilpotent orbits of standard Levi type.

研究动机与目标

• 为有限 W 代数发展一种类似于经典李理论的最高权理论。
• 通过从极小 Levi 子代数 g₀ 中的更小 W 代数 U(g₀,e)（其中 e 在 g₀ 中为分明的）进行抛物诱导，定义有限 W 代数的 Verma 模。
• 通过识别哪些最高权产生有限维不可约商模，对 U(g,e) 的有限维不可约表示进行分类。
• 提出并验证在标准 Levi 类型情形下不可约模有限维性的猜想。
• 将有限 W 代数的表示理论与 Robinson-Schensted 对应关系及 U(g) 中素理想之关联簇联系起来。

提出的方法

• 通过从包含 e 的极小 Levi 子代数 g₀ 中的有限维不可约 U(g₀,e)-模 VΛ 抛物诱导构造 Verma 模 M(Λ,e)，其中 g₀ 是包含 e 的极小 Levi 子代数。
• 定义 U(g,e)-模的范畴 O(e)，其合成列由不可约商模 L(Λ,e) 构成，推广了 BGG 范畴 O。
• 利用 U(g,e) 的受限根系定义正根系，从而确定最高权结构。
• 利用在类型 A 中 U(g,e) 与一个平移的杨代数商同构的关系，引入关于最高权模的已知结果。
• 应用 Robinson-Schensted 的行插入算法，为每个最高权 λ 关联一个表 A(λ)，将表示理论与组合学联系起来。
• 证明 L(Λ,e) 有限维当且仅当 Λ 的行等价类可表示为列严格表。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限 W 代数的哪些最高权模具有有限维不可约商模？
• RQ2 在缺乏 Cartan 子代数的情况下，如何系统地构造有限 W 代数的 Verma 模？
• RQ3 最高权的何种组合条件可确保对应不可约表示的有限维性？
• RQ4 不可约 U(g)-模的零化子的关联簇如何与对应 U(g,e)-模的有限维性相关联？
• RQ5 Robinson-Schensted 对应关系在多大程度上控制了有限 W 代数的有限维不可约表示的分类？

主要发现

• 与最高权 Λ ∈ L 关联的 Verma 模 M(Λ,e) 有唯一的不可约商模 L(Λ,e)，确立了标准的最高权模结构。
• 有限维不可约 U(g,e)-模的集合由 L⁺ ⊆ L 参数化，其中 L⁺ 由那些对应 Verma 模具有有限维不可约商模的权 Λ 组成。
• L(Λ,e) 有限维当且仅当 Λ 的行等价类可表示为列严格表，提供了组合判别准则。
• 该准则等价于对应 U(g)-模的零化子的关联簇等于轨道 G·e 的闭包，将表示理论与幂零轨道几何联系起来。
• 该分类恢复并推广了 [BK2] 中类型 A 的结果，有限维性条件通过 Robinson-Schensted 对应关系得到完全刻画。