[论文解读] Highly linked tournaments

Alexey Pokrovskiy|BIROn (Birkbeck, University of London)|Jun 29, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文证明了每个强452k-连通竞赛图都是k-可连接的，证实了K"uhn、Lapinskas、Osthus和Patel的猜想。该研究通过传递子竞赛图和门格尔定理扩展了连接结构方法，以在指定顶点对之间构造顶点不相交路径，实现了k-可连接竞赛图的线性连通性界。

ABSTRACT

A (possibly directed) graph is $k$-linked if for any two disjoint sets of vertices $\{x_1, \dots, x_k\}$ and $\{y_1, \dots, y_k\}$ there are vertex disjoint paths $P_1, \dots, P_k$ such that $P_i$ goes from $x_i$ to $y_{i}$. A theorem of Bollobás and Thomason says that every $22k$-connected (undirected) graph is $k$-linked. It is desirable to obtain analogues for directed graphs as well. Although Thomassen showed that the Bollobás-Thomason Theorem does not hold for general directed graphs, he proved an analogue of the theorem for tournaments - there is a function $f(k)$ such that every strongly $f(k)$-connected tournament is $k$-linked. The bound on $f(k)$ was reduced to $O(k \log k)$ by Kühn, Lapinskas, Osthus, and Patel, who also conjectured that a linear bound should hold. We prove this conjecture, by showing that every strongly $452k$-connected tournament is $k$-linked.

研究动机与目标

• 解决关于线性连通性界是否足以使竞赛图成为k-可连接的猜想。
• 改进K"uhn等人先前关于强连通性蕴含竞赛图k-可连接性的O(k log k)界。
• 确立一个紧致且显式的常数（452），作为确保竞赛图k-可连接性的线性连通性阈值。
• 扩展连接结构方法，以在高度连通竞赛图中实现精确的路径构造。

提出的方法

• 使用大小为2的传递子竞赛图（D⁻_i, D⁺_i）构建连接结构，形成路径分量。
• 应用门格尔定理，在T\X中寻找从Y⁻到X⁺的5k个顶点不相交路径Q_i，其中|X| ≤ 222k。
• 利用度条件和平均值论证，识别关键集合E⁻_i和E⁺_i之外的额外出邻居和入邻居。
• 将初始路径端点替换为支配集之外的顶点，以确保不相交性和路径连续性。
• 使用引理2.1在T⁻和T⁺中找到不相交路径P⁻_i和P⁺_i，分别连接Q⁻_i和Q⁺_i到Q′_i路径。
• 连接路径：x_i → x′_i → Q⁻_i → P⁻_i → Q′_i → P⁺_i → Q⁺_i → y′_i → y_i，形成所需的k条x_i-y_i不相交路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个线性函数f(k)，使得每个强f(k)-连通竞赛图都是k-可连接的？
• RQ2 能否将竞赛图k-可连接性的O(k log k)连通性界改进为线性界？
• RQ3 使得每个强Ck-连通竞赛图都是k-可连接的，最佳显式常数C是多少？
• RQ4 连接结构方法能否被优化，以在竞赛图k-可连接性中实现紧致的线性界？

主要发现

• 每个强452k-连通竞赛图都是k-可连接的，证实了K"uhn、Lapinskas、Osthus和Patel的猜想。
• 452k的界是显式且可构造的，优于先前的10⁴k log k的O(k log k)界。
• 该证明依赖于从支配集外部仔细选择顶点，以确保路径的不相交性和连通性。
• 该方法利用传递子竞赛图和门格尔定理，在指定顶点对之间构造不相交路径。
• 构造确保x′_i和y′_i可从E⁻_i和E⁺_i之外选择，且至少有2k种选择，从而保证不相交性。
• 最终的路径连接确保了从x_i到y_i的所有k条路径之间顶点不相交，满足k-可连接性要求。