[论文解读] Hilbert schemes and W algebras

Wei-Ping Li, Zhenbo Qin+1 more|ArXiv.org|Nov 5, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文几何地构造了一个$χ$代数，记为$χ_X$，其在射影曲面$X$上$n$个点的希尔伯特概形$X^{[n]}$的上同调环的直和上不可约地作用。通过用海森堡代数生成元表示陈特征算子$χ_k(\alpha)$的显式公式，作者计算了傅里叶分量的对易子，并将$χ_X$识别为一类$χ_{1+\infty}$代数，从而在这一几何设定下推广了海森堡代数和维拉索罗代数。

ABSTRACT

We construct geometrically the generating fields of a W algebra which acts irreducibly on the direct sum of the cohomology rings of the Hilbert schemes of n points on a projective surface for all n. We compute explicitly the commutators among a set of linear basis elements of the W algebra, and identify this algebra with a $W_{1+\infty}$-type algebra. A precise formula of certain Chern character operators, which is essential for the construction of the W algebra, is established in terms of the Heisenberg algebra generators. In addition, these Chern character operators are proved to be the zero-modes of vertex operators.

研究动机与目标

• 在射影曲面$X$上$n$个点的希尔伯特概形$X^{[n]}$的上同调环的直和$χ_X = \oplus_{n\geq 0} H^*(X^{[n]})$上几何地构造一个不可约作用的$χ$代数。
• 为作用于类$G_k(\alpha,n)$上同调类的陈特征算子$χ_k(\alpha)$提供显式公式，该作用通过上面对乘实现，且以海森堡代数生成元表示，其中$\alpha$垂直于典范类$K$。
• 计算$χ$代数生成场的傅里叶分量之间的对易子，并将所得代数识别为一类$χ_{1+\infty}$代数。
• 建立算子$χ_k(\alpha)$为顶点算子的零模态，并验证勒恩与索尔杰关于类$G_k(\alpha,n)$的猜想（经轻微修正）。

提出的方法

• 该构造依赖于几何算子$χ_k(\alpha) \in \mathrm{End}(\u03c7_X)$，其通过与上同调类$G_k(\alpha,n) \in H^*(X^{[n]})$的上面对乘定义，这些类在先前的工作[LQW1]中已引入。
• 为$ρ \perp K$的情形推导出$χ_k(\alpha)$的显式公式，用中岛-格罗伊诺夫斯基海森堡代数生成元表示。
• 通过与海森堡场相关的顶点算子的算子乘积展开（OPEs）计算傅里叶分量$χ_m^p(\alpha)$与$χ_n^q(\beta)$的对易子。
• 对$ p+q > 4 $与$ p+q \leq 4 $分别进行OPE计算，通过洛朗级数展开仔细处理奇点项与极点结构。
• 结果对易子与一类$χ_{1+\infty}$-型代数的结构常数一致，其系数涉及$ pn - qm $、$ p+q-1 $与$ m+n $。
• 通过验证傅里叶分量在李括号下封闭且代数包含海森堡与维拉索罗子代数，完成$χ_X$作为$χ_{1+\infty}$-型代数的识别。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在射影曲面的点的希尔伯特概形上同调上几何地构造$χ$代数的生成场？
• RQ2 $χ$代数$χ_X$在$χ_X$上的精确代数结构是什么？它与$χ_{1+\infty}$有何关系？
• RQ3 能否显式地用海森堡代数生成元表示陈特征算子$χ_k(\alpha)$，特别是当$\alpha$垂直于典范类时？
• RQ4 $χ_k(\alpha)$算子是否为顶点算子的零模态？这些顶点算子在代数结构中起什么作用？
• RQ5 对易子$[\u03c7_m^p(\alpha), \u03c7_n^q(\beta)]$的显式公式是什么？其表达式如何用海森堡代数与$χ$代数生成元表示？

主要发现

• 对于垂直于典范类$K$的$\alpha$，陈特征算子$χ_k(\alpha)$被显式地用海森堡代数生成元表示，从而完整描述了典范类数值平凡的曲面上$X^{[n]}$的上同调环结构。
• 对易子$[\u03c7_m^p(\alpha), \u03c7_n^q(\beta)]$包含一个与$ :a^{p+q}:_{m+n}(\tau_*(\alpha\beta)) $成比例的项，其系数为$\frac{pn - qm}{p+q}$，这是$χ_{1+\infty}$-型结构的核心。
• 对易子中$:(\partial^2 a) a^{p+q-3}:_{m+n}(\tau_*(e\alpha\beta))$项的系数为$-\frac{(pn - qm)(p+q-1)(p+q-2)}{24}$，证实了高自旋电流的存在。
• 对易子中$ :a^{p+q-2}:_{m+n}(\tau_*(e\alpha\beta)) $项的系数为$\Theta_{m,n}^{p,q} + \frac{\Omega_{m,n}^{p,q}}{12(p+q-2)}$，其中$\Theta_{m,n}^{p,q} = \frac{(pn - qm)(p+q-1)}{24}(2p+2q-2+3m+3n-(m+n)^2)$。
• 项$:(\partial^3 a) a^{p+q-3}:_{m+n}(\tau_*(e\alpha\beta))$在对易子中不出现，因其系数恒为零。
• $χ_X$代数被识别为一类$χ_{1+\infty}$-型代数，其傅里叶分量构成线性基，并且该代数包含海森堡代数与维拉索罗代数作为子代数。