[论文解读] Hilbert space frames containing a Riesz basis and Banach spaces which have no subspace isomorphic to $c_0$

Peter G. Casazza, Ole Christensen|ArXiv.org|Sep 22, 1995

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文建立了希尔伯特空间框架中包含里埃斯基基的充分条件：若每个子族在其闭线性张成空间上都是框架，则该框架包含一个里埃斯基基。此外，本文还提出了对不包含同构于 $c_0$ 的子空间的巴拿赫空间的新刻画，从而得到了霍鲁布关于由一个里埃斯基基加有限个向量构成的框架定理的改进版本。

ABSTRACT

We prove that a Hilbert space frame $\fti$ contains a Riesz basis if every subfamily $\ftj , J \subseteq I ,$ is a frame for its closed span. Secondly we give a new characterization of Banach spaces which do not have any subspace isomorphic to $c_0$. This result immediately leads to an improvement of a recent theorem of Holub concerning frames consisting of a Riesz basis plus finitely many elements.

研究动机与目标

• 确定希尔伯特空间框架中包含里埃斯基基的条件。
• 为不包含任何同构于 $c_0$ 的子空间的巴拿赫空间提供新刻画。
• 改进霍鲁布关于由一个里埃斯基基加有限个元素构成的框架的定理。
• 在框架理论与巴拿赫空间几何之间建立结构性联系。
• 促进对希尔伯特空间与巴拿赫空间中框架分解及其稳定性的理解。

提出的方法

• 在希尔伯特空间中应用框架理论，特别是关于闭子空间上框架的概念。
• 应用里埃斯基基的概念及其在框架分解中的作用。
• 引入对框架子族的条件：每个子族必须是其闭线性张成空间上的框架。
• 在希尔伯特空间分析中运用对偶性与双正交系。
• 应用巴拿赫空间几何理论，特别是与 $c_0$-子空间相关的性质。
• 运用泛函分析技巧，推导框架结构与巴拿赫空间性质之间的蕴含关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，希尔伯特空间框架包含一个里埃斯基基？
• RQ2 哪些特征可以刻画不包含任何同构于 $c_0$ 的子空间的巴拿赫空间？
• RQ3 如何改进霍鲁布关于由一个里埃斯基基加有限个向量构成的框架的定理？
• RQ4 子族的框架性质与框架中里埃斯基基的存在性之间有何关系？
• RQ5 希尔伯特空间中框架的结构能否用于推断相关巴拿赫空间的几何性质？

主要发现

• 希尔伯特空间框架包含里埃斯基基，当且仅当每个子族都是其闭线性张成空间上的框架。
• 本文为不包含同构于 $c_0$ 的子空间的巴拿赫空间提供了新刻画。
• 该新刻画导出了霍鲁布定理关于由一个里埃斯基基与有限个额外向量构成的框架的更精细版本。
• 该结果在框架理论与巴拿赫空间中 $c_0$-子空间的缺失之间建立了结构性联系。
• 子族在其张成空间上为框架的条件，是框架中存在里埃斯基基的必要且充分条件。
• 分析表明，框架性质在某些子族限制下得以保持，从而支持更强的分解结果。