[论文解读] Hilbert space shattering and dynamical freezing in the quantum Ising model

Oliver Hart, Rahul Nandkishore|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2022

Opinion Dynamics and Social Influence被引用 5

一句话总结

本文表明，二维横场伊辛模型由于存在 U(1) 守恒律和 Z2 一形式约束，导致希尔伯特空间碎裂，从而产生指数数量的动态隔离区域。该研究识别出弱碎裂与强碎裂区域之间存在类似一阶相变的冻结转变，弱区域中自旋域壁的动力学表现为扩散行为，而在某些子区域中即使不存在淬火无序，也表现出精确局域化。

ABSTRACT

We discuss quantum dynamics in the transverse field Ising model in two spatial dimensions. We show that, up to a prethermal timescale, which we quantify, the Hilbert space 'shatters' into dynamically disconnected subsectors. We identify this shattering as originating from the interplay of a $\mathrm{U}(1)$ conservation law and a one-form $\mathbb{Z}_2$ constraint. We show that the number of dynamically disconnected sectors is exponential in system volume, and includes a subspace exponential in system volume within which the dynamics is exactly localized, even in the absence of quenched disorder. Depending on the emergent sector in which we work, the shattering can be weak (such that typical initial conditions thermalize with respect to their emergent symmetry sector), or strong (such that typical initial conditions exhibit localized dynamics). We present analytical and numerical evidence that a first order-like 'freezing transition' between weak and strong shattering occurs as a function of the symmetry sector, in a non-standard thermodynamic limit. We further numerically show that on the 'weak' (melted) side of the transition domain wall dynamics follows ordinary diffusion.

研究动机与目标

• 理解在无淬火无序的二维横场伊辛模型中，动力学冻结与希尔伯特空间碎裂的起源。
• 识别出涌现对称性——特别是 U(1) 守恒律与 Z2 一形式约束——在生成指数数量动态隔离的克里洛夫区域中的作用。
• 研究在热力学极限下，弱碎裂与强碎裂区域之间是否存在相变，并表征其性质。
• 确定不同碎裂区域中自旋域壁的输运性质，特别是弱碎裂相中的表现。

提出的方法

• 使用施里弗-沃尔夫变换推导出一个有效哈密顿量，该哈密顿量在 (h/J)^k 阶内守恒域壁数，从而实现对可移动性的微扰分析。
• 通过在哈密顿量邻接矩阵上进行广度优先搜索，精确枚举状态，以分类动态连接的克里洛夫区域。
• 利用随机细胞自动机电路对 Z2 和 U(1) 对称性引起的经典动力学约束进行动力学模拟。
• 将经典马尔可夫过程中的不可约性转变识别为量子冻结转变的代理。
• 构造算符 T_n，用于创建或湮灭域壁，其中 T_n 满足 [Q, T_n] = nT_n 且 T_n^† = T_{-n}，从而实现系统的微扰理论。
• 分析有效哈密顿量 H' = 2JQ - hT_0 + (h^2/4J)[T_2, T_{-2}] + (h^2/8J)[T_4, T_{-4}] + ...，表明孤立域壁在 h/J 的二阶微扰下变得可移动，从而在弱区域中实现扩散。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无淬火无序的二维横场伊辛模型中，希尔伯特空间碎裂的起源是什么？
• RQ2 U(1) 守恒律与 Z2 一形式约束的相互作用如何导致指数数量的动态隔离区域？
• RQ3 在热力学极限下，弱碎裂与强碎裂区域之间是否发生类似一阶相变的冻结转变？
• RQ4 弱碎裂区域中的输运性质是什么？它与强碎裂区域有何不同？
• RQ5 该冻结转变是否可被理解为底层经典马尔可夫过程中不可约性转变？

主要发现

• 由于 U(1) 域壁数守恒与 Z2 一形式约束的共同作用，二维 TFIM 的希尔伯特空间碎裂为指数数量的动态隔离克里洛夫区域。
• 在弱碎裂区域（例如半填满时），域壁动力学遵循普通扩散，与区域内典型热化行为一致。
• 类似一阶相变的冻结转变将弱碎裂与强碎裂区域分隔开，该转变发生于一种非标准热力学极限下，其中 N_DW ∝ L^2。
• 在强碎裂区域中，存在一个随系统体积指数增长的子空间，其表现出精确局域化，即使在无淬火无序时亦然。
• 该转变被表征为控制域壁随机动力学的经典马尔可夫过程中的不可约性转变。
• 在 h/J 的二阶微扰下，孤立域壁通过有效哈密顿量中的 [T_2, T_{-2}] 项变得可移动，从而在弱区域中实现扩散。