[论文解读] Hirzebruch-Riemann-Roch Formulae on Irreducible Symplectic Kähler Manifolds

Michael Britze, Marc A. Nieper|ArXiv.org|Jan 8, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文通过将欧拉示性数用Beauville-Bogomolov二次型表示，为不可约对称Kähler流形上的线丛建立了Hirzebruch-Riemann-Roch公式。利用Rozansky-Witten类与代数几何方法，推导出广义Kummer簇 $K^nA$ 的陈数公式，适用于 $n \leq 5$，将先前对 $n \leq 4$ 的结果加以推广，并证明了 $\chi(L) = (n+1)\binom{q(c_1(L))/2 + n}{n}$ 对于 $K^nA$ 成立。主要贡献在于通过特征类与图同调系统地计算了陈数。

ABSTRACT

In this article we investigate Hirzebruch-Riemann-Roch formulae for line bundles on irreducible symplectic Kähler manifolds. As Huybrechts has shown, for every irreducible complex Kähler manifold $X$ of dimension $2n$, there are numbers $a_0, a_2, ..., a_{2n}$ such that $χ(L) = \sum_{k = 0}^n a_{2k}/(2k)! q_X(c_1(L))^k$ for the Euler characteristic of a line bundle $L$, where $q_X: H^2(X, \mathbbm C) o \mathbbm C$ is the Beauville-Bogomolov quadratic form of $X$. Using Rozansky-Witten classes similar to Hitchin and Sawon, we obtain a formula expressing the $a_{2k}$ in terms of Chern numbers of $X$. Furthermore, for the $n$-th generalized Kummer variety $\KA n$, we prove $χ(L) = (n + 1) \binom{q(c_1(L)) / 2 + n} n$ by purely algebro-geometric methods, where $q$ is the form $q_X$ up to a positive rational constant. A similar formula is already known for the Hilbert scheme of zero-dimensional subschemes of length $n$ on a K3-surface. Using our results, we are able to calculate all Chern numbers of the generalized Kummer varieties $\KA n$ for $n \leq 5$. For $n \leq 4$ these results were previously obtained by Sawon.

研究动机与目标

• 推导不可约对称Kähler流形 $X$ 上线丛 $L$ 的欧拉示性数 $\chi(L)$ 的Hirzebruch-Riemann-Roch公式。
• 利用Rozansky-Witten类，将Riemann-Roch展开中的系数 $a_{2k}$ 用流形的陈数表示。
• 通过代数几何方法，计算广义Kummer簇 $K^nA$ 在 $n \leq 5$ 时的所有陈数。
• 将K3曲面的希尔伯特概形上 $\chi(L)$ 的已知公式推广至广义Kummer簇。

提出的方法

• 利用Rozansky-Witten类作为工具，将特征类与 $H^2(X,\mathbb{C})$ 上的Beauville-Bogomolov二次型 $q_X$ 关联起来。
• 应用图同调技术计算对称流形的不变量，特别关注陈示性类与Todd类的结构。
• 在Grothendieck $K^0$-环中使用带有 $\varepsilon$-变形的陈示性类与Todd类，定义 $\mathrm{td}_\varepsilon(X)$，从而实现更精细的Riemann-Roch公式。
• 利用 $\psi^p$-Adams变换与 $\varepsilon$-扭曲的陈示性类，定义 $K^0(X,\mathbb{C})$ 上的同态 $\phi_\varepsilon$，从而导出新的Riemann-Roch表达式。
• 将代数几何技术应用于广义Kummer簇 $K^nA$（定义为求和态射 $s: A^{[n]} \to A$ 的纤维），推导出 $\chi(L)$ 的闭合公式。
• 建立二次型 $q_X$ 与欧拉示性数之间的联系，通过公式 $\chi(L) = (n+1)\binom{q(c_1(L))/2 + n}{n}$ 证明其在 $K^nA$ 上成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将不可约对称Kähler流形上线丛的Hirzebruch-Riemann-Roch公式用Beauville-Bogomolov二次型表示？
• RQ2 Riemann-Roch展开中的系数 $a_{2k}$ 与流形的陈数之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否通过代数几何方法，以闭合形式计算广义Kummer簇 $K^nA$ 上的欧拉示性数 $\chi(L)$？
• RQ4 Rozansky-Witten类如何促进不可约对称流形上特征类与陈数的计算？
• RQ5 广义Kummer簇 $K^nA$ 在 $n \leq 5$ 时的完整陈数不变量是什么？

主要发现

• 不可约对称Kähler流形 $X$ 上线丛 $L$ 的欧拉示性数由 $\chi(L) = \sum_{k=0}^n \frac{a_{2k}}{(2k)!} q_X(c_1(L))^k$ 给出，其中 $a_{2k}$ 为可通过Rozansky-Witten类用 $X$ 的陈数表示的系数。
• 对于广义Kummer簇 $K^nA$，利用纯代数几何方法证明了公式 $\chi(L) = (n+1)\binom{q(c_1(L))/2 + n}{n}$。
• 所有 $n \leq 5$ 时 $K^nA$ 的陈数均被显式计算，扩展了Sawon对 $n \leq 4$ 的结果。
• Riemann-Roch公式中的系数 $a_{2k}$ 被证明为陈数的有理函数，该方法提供了一套系统化的计算框架。
• 使用 $\mathrm{td}_\varepsilon(X)$ 与 $\phi_\varepsilon$-扭曲的Todd类，为对称流形上的Riemann-Roch计算提供了一种新颖且精细的方法。
• 广义Kummer簇 $K^nA$ 被证明是光滑的，且与 $A$ 中原点的选择无关，通过平移存在一个到 $K^{n-1}A \times A$ 的典范同构。