[论文解读] History Determinism vs. Good for Gameness in Quantitative Automata

Udi Boker, Karoliina Lehtinen|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2021

Formal Methods in Verification参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文确立了在定量自动机中，good for games 与历史确定性——在布尔设置下一致——在定量设置下发生分离：good for games 范围更广，且与基于阈值的 good for games 一致；而历史确定性更严格，仅在确定性假设下与基于阈值的历史确定性等价。该研究阐明了它们在合成中的作用，表明局部最优值合成可归约为历史确定性决策问题，从而可通过历史确定性自动机实现高效合成。

ABSTRACT

Automata models between determinism and nondeterminism/alternations can retain some of the algorithmic properties of deterministic automata while enjoying some of the expressiveness and succinctness of nondeterminism. We study three closely related such models -- history determinism, good for gameness and determinisability by pruning -- on quantitative automata. While in the Boolean setting, history determinism and good for gameness coincide, we show that this is no longer the case in the quantitative setting: good for gameness is broader than history determinism, and coincides with a relaxed version of it, defined with respect to thresholds. We further identify criteria in which history determinism, which is generally broader than determinisability by pruning, coincides with it, which we then apply to typical quantitative automata types. As a key application of good for games and history deterministic automata is synthesis, we clarify the relationship between the two notions and various quantitative synthesis problems. We show that good-for-games automata are central for "global" (classical) synthesis, while "local" (good-enough) synthesis reduces to deciding whether a nondeterministic automaton is history deterministic.

研究动机与目标

• 澄清在定量自动机中，good for games 与历史确定性之间的关系，其中它们与布尔情形下的对应概念发生分离。
• 分析这些概念与剪枝可确定性之间的关系，并确定它们在何种条件下一致。
• 建立局部最优值合成与历史确定性之间的联系，从而通过历史确定性自动机实现高效合成。
• 将 good for games 与历史确定性的适用范围扩展至定量合成问题，特别是在阈值与最优值目标的背景下。

提出的方法

• 为定量自动机引入并形式化基于阈值的 good for games 与历史确定性的变体。
• 证明 good for games 与基于阈值的 good for games 一致，而历史确定性严格强于基于阈值的历史确定性。
• 证明当自动机上的字母游戏为确定时，基于阈值的历史确定性与 good for games 等价。
• 证明对于 Borel 可定义的定量自动机，字母游戏是确定的，从而在该条件下保证基于阈值的历史确定性与 good for games 的等价性。
• 展示局部最优值（或基于阈值的）合成与判断非确定性自动机是否为历史确定性问题之间的线性互化。
• 通过归约证明，历史确定性的见证可直接实现为合成问题的解转换器。

实验结果

研究问题

• RQ1 在定量设置下，good for games 与历史确定性是否如在布尔设置下那样一致？
• RQ2 在定量自动机中，good for games、历史确定性与剪枝可确定性之间有何关系？
• RQ3 在何种条件下，基于阈值的历史确定性与 good for games 在定量设置下一致？
• RQ4 局部最优值与基于阈值的合成问题与定量自动机中的历史确定性有何关联？
• RQ5 历史确定性是否可作为解决定量系统中局部合成问题的充分必要条件？

主要发现

• 在定量设置下，good for games 比历史确定性更广泛，二者并不一致。
• good for games 与基于阈值的 good for games 一致，但历史确定性严格强于基于阈值的历史确定性。
• 当自动机上的字母游戏为确定时，基于阈值的历史确定性与 good for games 等价，而该条件对阈值版本定义 Borel 集的自动机成立。
• 对于 Borel 可定义的定量自动机，字母游戏是确定的，从而确保基于阈值的历史确定性与 good for games 的等价性。
• 局部最优值与基于阈值的合成问题与判断非确定性自动机是否为（t-阈值）历史确定性的问题线性互化。
• （t-阈值）历史确定性的见证可直接实现为对应合成问题的解转换器。