[论文解读] History-Deterministic Vector Addition Systems

Sougata Bose, David Purser+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

semigroups and automata theory被引用 4

一句话总结

该论文研究了有限字语言的history-deterministic向量加法系统（HD-VASS），表明其在所有维度下均构成介于确定性和非确定性VASS之间的严格中间类。关键贡献在于证明：对于二维VASS，基本决策问题（如HD性、语言包含和正则性）在可覆盖性语义下也是不可判定的，原因在于HD-VASS能够模拟2计数器Minsky机。

ABSTRACT

We consider history-determinism, a restricted form of non-determinism, for Vector Addition Systems with States (VASS) when used as acceptors to recognise languages of finite words. History-determinism requires that the non-deterministic choices can be resolved on-the-fly; based on the past and without jeopardising acceptance of any possible continuation of the input word. Our results show that the history-deterministic (HD) VASS sit strictly between deterministic and non-deterministic VASS regardless of the number of counters. We compare the relative expressiveness of HD systems, and closure-properties of the induced language classes, with coverability and reachability semantics, and with and without $\varepsilon$-labelled transitions. Whereas in dimension 1, inclusion and regularity remain decidable, from dimension two onwards, HD-VASS with suitable resolver strategies, are essentially able to simulate 2-counter Minsky machines, leading to several undecidability results: It is undecidable whether a VASS is history-deterministic, or if a language equivalent history-deterministic VASS exists. Checking language inclusion between history-deterministic 2-VASS is also undecidable.

研究动机与目标

• 考察history-deterministic VASS（HD-VASS）在有限字语言上的表达能力和封闭性质。
• 从语言识别能力角度，比较HD-VASS与确定性和非确定性VASS，尤其关注不同维度下的表现。
• 研究在不同接受语义（可覆盖性、可达性）下，以及是否包含ε-转移的情况下，HD-VASS的关键决策问题（如HD性、语言包含和正则性）的可判定性。
• 确定HD-VASS是否能够模拟如2计数器Minsky机等强大计算模型，从而导致不可判定性结果。
• 解决先前研究中关于1维HD-VASS的开放问题，特别是关于确定化和表达能力的问题。

提出的方法

• 构建一个HD-VASS的解析策略，每一步选择语言最大化的转移，确保只要存在一条接受路径即可被接受。
• 通过在HD-VASS中模拟2计数器Minsky机（2CM），展示不可判定性结果，利用HD-VASS能够以历史依赖方式解析非确定性选择的能力。
• 将已知的不可判定问题（如2CM的普遍性和有限性问题）归约为HD-VASS上的决策问题，通过逻辑和结构变换证明不可判定性。
• 构造特定的VASS示例（例如，L4 = {a^n b^{≤n} | n ∈ ℕ}），以证明即使在1维情况下，某些语言也无法被HD识别。
• 借鉴Parikh自动机和OCA理论中的构造，证明1-HD-VASS可转化为等价的确定性OCA，且复杂度为双指数级膨胀，从而实现1维情况下正则性的可判定性。
• 应用良好偏序和泵送论证，通过证明无限配置会导致非正则语言，违反DFA循环性质，从而在2维情况下证明不可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 HD-VASS所识别的语言类是否在所有维度下严格比确定性VASS更具表达力，但又少于非确定性VASS？
• RQ2 HD-VASS的HD性、语言包含和正则性等决策问题是否可判定？其可判定性如何依赖于维度和接受语义？
• RQ3 2维HD-VASS是否能够模拟2计数器Minsky机？其对可判定性有何后果？
• RQ4 给定一个非确定性VASS，判断其是否存在等价的history-deterministic VASS是否可判定，特别是在2维情况下？
• RQ5 1维HD-VASS是否可确定化？这是否能导致正则性检查的可判定性？

主要发现

• 在所有维度下，包括1维，HD-VASS均构成介于确定性和非确定性VASS之间的严格中间类。
• 在可覆盖性和可达性语义下，2维VASS是否为HD-VASS的判定问题是不可判定的。
• 在可覆盖性语义下，两个2维history-deterministic VASS之间的语言包含问题也是不可判定的。
• 由于2计数器Minsky机的有限性问题不可判定，因此判定2-HD-VASS是否识别正则语言的问题也是不可判定的。
• 尽管在2维情况下存在不可判定性，但在1维情况下正则性是可判定的，其复杂度上界为EXPSPACE。
• 1-HD-VASS可转化为等价的确定性OCA，且复杂度为双指数级膨胀，这使得1维情况下的正则性可判定。